順序対を(a,b)={{a},{φ,b}}とするとき、 (a,b)=(c,d)⇒ a=cかつb=d

順序対を(a,b)={{a},{φ,b}}とするとき、
(a,b)=(c,d)⇒ a=cかつb=d
は成り立ちますか？成り立つ場合は証明して成り立たない場合は反例を出してください。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/02 14:13

b, d が =φ でなければ { {a}, {φ,b} } が対 (a,b) として機能することは

ほぼ自明。この条件下には
{a} と {φ,b} は、要素数で区別できるから、
(a,b)=(c,d) ⇔ { {a}, {φ,b} }={ {c}, {φ,d} }
　　　　　⇔ ( {a}={c} ∧ {φ,b}={φ,d} )
　　　　　⇔ ( a=c ∧ b=d ).

b=φ ∧ d≠φ であれば、
(a,b)=(c,d) ⇔ { {a}, {φ} }={ {c}, {φ,d} }
が成り立つことは無い。
よって与式は真。

b = d = φ の場合、
(a,b)=(c,d) ⇔ { {a}, {φ} }={ {c}, {φ} }
　　　　　⇔ {a}={c}
　　　　　⇔ a=c.
この場合も、与式は成り立っている。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/08/01 19:54

(a,b)={{a},{φ,b}}

(a,b)=(c,d)とすると

{{a},{φ,b}}=(a,b)=(c,d)={{c},{φ,d}}

{{a},{φ,b}}={{c},{φ,d}}

{a}∈{{a},{φ,b}}={{c},{φ,d}}
{a}∈{{c},{φ,d}}

{a}={c}のとき
a=c
だから
{φ,b}={φ,d}
だから
b=d
だから
a=cかつb=d

{a}={φ,d}のとき
a=d=φ
{φ,b}={c}
だから
b=c=φ
だから
a=b=c=d=φ
だから
a=cかつb=d

No.1 回答者： localtombi 回答日時： 2024/08/01 17:21

宿題の丸投げは規約違反です。