ハンマーによる打撃力

1.5kgのハンマーを振り下ろしたとき、衝突時の荷重がわからなくて困っています。
打撃スパナを使用してボルトを増し締めする場合です。
運動方程式　Ｆ＝m(v'-v)／Δt　を使用すればいいと考えたのですが、
Δtがわかりません。
高校物理の教科書に頭を悩ませる程度の学力で申し訳ないのですが、
回答のほどお願いいたします。

No.1 回答者： N64 回答日時： 2007/02/14 20:30

Δtは、誰にもわからないですよねー。

この場合、単純に運動量保存では、ないでしょうか。

No.2 回答者： noname#26663 回答日時： 2007/02/14 21:15

今ちょうど微分プログラム作ってるんだけど何だか

ちがーとおもーぞ。＾＿＾；

http://www.fnorio.com/0063work_&_energy1/prove_a …

No.3 回答者： inara 回答日時： 2007/02/14 22:15

これは材料力学の「衝撃応力」です。

Δtは出てきません。
回答まではしませんが、ハンマーの位置エネルギーとボルトが縮んで蓄えられるエネルギーが等しいとして解きます。ボルトの縮みをλとすると、λに関する２次式になります。

ハンマーの高さがゼロであっても急激に荷重をかけると、ハンマーを静かに置いた場合の２倍の荷重がかかると、手元の書籍には書いてあります。

参考文献：有光隆「図解でわかるはじめての材料力学」技術評論社、p.173.

No.4 回答者： ht1914 回答日時： 2007/02/15 09:42

＞運動方程式　Ｆ＝m(v'-v)／Δt　を使用すればいいと考えたのですが、

この式が基本です。でもΔｔは分かりません。ｖ、ｖ’もすぐには分かりません。振り下ろした場合ですからｖを位置エネルギーからだけで出すことは出来ません。ｖ’は跳ね返った後どれくらいの高さにまで上がったかを測れば求めることが出来そうです。写真撮影が出来ればｖを推定することが出来そうです。
もしハンマーの速度変化ｖ’－ｖが分かるようであればＦΔｔが分かります。この量は力積といわれている量です。力が働いている間の累積的な効果を現しています。Δｔは作用時間です。ボルトとハンマーの接触時間です。力の大きさは当然変化しているはずですからここでの力は平均的な値ということになります。速度は向きを考慮したものです。もしハンマーが跳ね返った場合はマイナスの符号を付ける必要があります。だから力にもマイナスが着きます。ハンマーには逆向きの力が働くからです。それと同じ大きさの力がボルトにはかかります。Δｔも同じです。質量と速度を掛けた量は運動量と呼ばれていますから「運動量の変化は力積に等しい」ということになります。
＃３にあるようなボルトの変形の大きさから変形のエネルギーを出すときには「変形の大きさ×力＝仕事」という関係を使っています。変形はΔｔの間に起こったと考えています。このエネルギーがもし分かれば力を求めることが出来ます。
しかしこの変形のエネルギーをハンマーの位置エネルギーから出すことは出来ません。
（１）ハンマーは振り下ろしています。落下ではありません。落下の場合よりも衝突速度は大きくなっています。
（２）衝突直前のハンマーの持つ運動エネルギーが全てボルトに渡されたのではありません。ボルトにはその一部分しか渡されていません。

もしボルトの変形と力の関係についてのデータが参考資料としてあるのであればそこから力を求めることが出来ます。

いくつかの仮定を置いて推測しながら値を求めていくことになるでしょう。材料力学の本にはこの仮定の置き方が載っていると思います。でも推測には必ず根拠が必要です。根拠なしに数値だけしか与えていない場合は信用できない場合があります。

材料力学で衝撃荷重を静荷重の２倍とか３倍とかで考えるのはさしあたりそういうことで話を先に進めようということでしかありません。分からないものばかりだと話しが進まないからです。場合によっては１０倍ということかも知れません。それが安全係数ということになります。
ロープにかかる力の例で考えます。
ロープに質量１００ｋｇの物体をぶら下げたとします。ロープにかかる力は１００kgfです。このおもりを釣り合いの位置から１ｍ持ち上げてから落下させたとします。ロープにかかる力は１００ｋｇｆよりも大きくなります。ロープが伸び始めてから伸びきってしまうまでの時間によって力の大きさは変わります。質問の中のΔｔです。伸びるロープだとΔｔが大きくなりＦが小さくなります。もっと高いところから落とせば当然力も大きくなります。
登山用のロープの耐荷重は２０００kgfとなっています。２人がぶら下がることがあったとしても２００kgfまでです。墜落等の衝撃荷重や時間、環境による強度劣化を考えて１０倍余分に強度を設定したわけでしょう。

金槌で釘を打つという場合であれば「板と釘の間の摩擦力×釘の入った距離＝釘が金槌からもらったエネルギー」になります。摩擦力は金槌とくぎの頭との間に働いた力と必ずしも等しくはありません。でも近いとして推測することも出来ます。１つの仮定です。
ダーツのような場合はダーツの持っていた運動エネルギー＝ボードにめり込んだ時に失ったエネルギー＝摩擦力×めり込んだ距離となります。

No.5 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2007/02/15 12:44

　以前、鉄球を鉄筋コンクリート擁壁にぶつけて、その衝撃力を測ったことがあります。

その時は、鉄球に加速度計を埋め込んで、鉄球の加速度×鉄球の質量で、力を出しました。衝撃力グラフの積算から求めた運動量を使用して、エネルギー計算を行ったところ、擁壁の傾き量の実験値をけっこうな精度で再現しました。当然Δtもわかりました。この原因は、測定衝撃力がエネルギー損失込みの伝達衝撃力であるからです。またΔtが小さいので、衝突直後には一瞬だけ（だけですが）運動量保存則も成り立つからです。
　可能かどうかわかりませんが、ハンマーに圧電素子型の加速度センサー（小型です）を付けてはどうでしょうか？。ハンマーが大きいなら、サーボ型の加速度計も可能でしょう。
　これとは別に、ハイテンボルトの使用はできませんか？。ご存知かもしれませんがハイテンボルトなら、規定トルク以上の締めを行うと、ボルトの締め代が千切れるように製品化されてるので、締めの強さを確認できます。

No.6 回答者： noname#26663 回答日時： 2007/02/15 18:24

一応やってみた。

Y＝Vにした。
X＝ｔ（Δt）（１秒）にした。

ｍ＝１ｋｇにした。

V＝０→１０ｍ/ｓにした。

（０，０）（１、１０）

Δｙ/Δｘ＝ｄｙ/ｄｘ
ｄｙ＝１０（１０ひく０）
ｄｘ＝１（１ひく０）

YのXでの微分結果＝１０（ａ）
ａ＝１０ｍ/ｓ
ｍ＝１ｋｇ

元からF＝ｍａに入れてもいーと思う。
これ、衝突時の荷重とちがーから。
（ぜったいに）＾＿＾；

No.7 回答者： noname#26663 回答日時： 2007/02/16 00:57

>衝突時の荷重。

今度はΔtを
車の停止時間５秒～０．２秒にして下の式で解いてみて。
（０，０）（Δｔ，１０）

０．５秒で２倍
０．３秒で３倍
０．２秒で５倍
あくまで理論的には増えるんだけどさ。＾＿＾；

No.8 回答者： inara 回答日時： 2007/02/17 19:06

以下の回答ではボルトの縮み（ひずみ）は、ボルトに加わる荷重に比例するものとします（ひずみが小さいときにはそう近似していい）。

つまり、応力 σ とひずみ ε とは、σ = ε*E という関係にあるものとします（Eがボルトのヤング率）。

【ひずみエネルギーの一般式】
ボルトの長さを L [m]、断面積を A [m^2] とする。このボルトに荷重 P [N] が作用したとき、ボルトがλ[m]縮んだとすると、ボルトのひずみはε=λ/L 、ボルトが受ける応力 σ [N/m^2] は σ = P/A だから、ボルトのヤング率を E [Pa=N/m^2]とすると、
σ = ε*E → P/A = E*λ / L →λ = P*L/(E*A) --- (1)
ボルトを縮めることによってボルトに蓄えられるひずみエネルギーは、バネを縮めるときのエネルギーと考えいい。なぜなら、バネへの荷重と変位が比例するように、ボルトへの荷重(P)と変位（λ）は、式(1)を見れば分かるように、比例関係にあるからである。したがって、ボルトをバネに見立てて、そのバネ定数を k [N/m] とおくと、 k = P/λ = E*A/L 。したがってひずみエネルギー W は、W = 1/2*k*λ^2 = 1/2*E*A/L*｛P*L/(E*A)｝^2 = P^2*L/(2*E*A) --- (2)
式(1)から、P = E*A*λ/L 。これを式(2)に代入すれば、W = (E*A*λ/L)^2*L/(2*E*A) = E*A*λ^2/(2*L) --- (3)

【ハンマーで衝撃を与えたときにボルトに与えられるエネルギー】
ハンマーをボルトの頭から h [m] の高さから落としたとき、ボルトがλ [m] だけ縮んだとすると、ハンマーの高さの変化は合計で h + λだから位置エネルギーの変化 ΔUは、ΔU = m*g*(h + λ) --- (4)

【ハンマーの衝撃による最大荷重】
ハンマーの衝撃でボルトがλだけ縮むとき、ハンマーの位置エネルギーと変化 ΔU と、ボルトが縮んで蓄えられるエネルギー W とは等しいはずである（他にエネルギーのやりとりはない）。したがって、同じボルトの変位λを使った式(3)と式(4)は等しい。
E*A*λ^2/(2*L) = m*g*(h + λ) → A*E*λ^2 - 2*L*m*g*λ - 2*L*m*g*h = 0
これをλについて解くと、λ= [ L*m*g±√{ (L*m*g)^2 + 2*L*m*g*h*A*E} ] / (A*E) = L*m*g / (A*E) ±√[ {(L*m*g)/(A*E)}^2 + 2*h*L*m*g/(A*E)] となる。±符号がついているのは、ボルトの頭がある高さを中心に上下に振動するからで、最大荷重はボルトが最も縮んだ場合なので＋符号のほうをとる（２つのλの大きいほう）。したがって、最大荷重のときのボルトの縮みλmaxは、λmax = L*m*g / (A*E) +√[ {L*m*g/(A*E)}^2 + 2*h*L*m*g/(A*E)] 。最大荷重は、Wmax = A*E*λmax/L = m*g +√[(m*g)^2 + 2*h*m*g*A*E/L]

【解答】
Wmax = m*g +√[(m*g)^2 + 2*h*m*g*A*E/L]
Wmax：最大荷重 [N/m^2]
m：ハンマーの質量 [kg]、h：ハンマーの（ボルトの頭からの）高さ [m]、L：ボルトの長さ[m]、A：ボルトの断面積 [m^2]、E：ボルトのヤング率 [N/m^2]、g：重力加速度 [m/s^2]

【蛇足】
h=0 のとき、Wmax = 2*m*g となって決してゼロにはなりません。衝撃力は物体を落とす高さhが大きいほど大きくなりますが、それがたとえゼロであっても（ハンマーでボルトを触る程度でも）、物体をそっと置いたときの荷重（mg）の２倍の力が加わります。

物体をそっと置いたときの変位を λ0 [m] とすると、式(1)から、λ0 = m*g*L/(E*A) → m*g = λ0*A*E/L 。
Wmax = λ0*A*E/L + √[( λ0*A*E/L)^2 + 2*h* λ0*(A*E/L)^2] = λ0*A*E/L*[ 1 + √( 1 + 2*h/λ0) ]

No.9 回答者： inara 回答日時： 2007/02/18 00:01

ANo.3&ANo.8です。

ANo.8の【解答】２行目のの最大荷重Wの単位[N/m^2]は、[N]の誤りです。[N/m^2]は最大応力 W/A の単位です。