この問題がわかりません。

1 2　　　　　1 1
A= 2 1　　　P=-1 1

について、次の問いに答えよ。

（１）P^-1APを求めよ。
（２）（P^-1AP）^nを求め、そこからA^nを求めよ。


（１）と（P^-1AP）^nは求まるんですが、その後のA^nを求める計算ができません。
どなたかよろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： horahukisann2017 回答日時： 2017/05/18 00:15

表記が難しいですね…

A = (1 2, 2 1) のように表記して、2 × 2 行列として理解してもらえますか？
P ＝ (1 1,-1 1) の逆行列 P^(-1) = (1/2 -1/2, 1/2 1/2)
P・P^(-1) = E, P^(-1)・P = E を確認して
B = P^(-1)・A・P = (-1 0, 0 3)
B^2 = (1 0, 0 9)
これは B^n = ((-1)^n 0, 0 3^n) のように思われる。
B^n = ((-1)^n 0, 0 3^n) と仮定して、(B^n)・B と　B・(B^n) を計算してこれが B^(n + 1) に等しいことを確認する。

A^n を P・(B^n)・P^(-1) を計算することによって得る。

方針のみですが、どうですか？

この回答へのお礼

わかりました！
ありがとうございました！

お礼日時：2017/05/19 00:31

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2017/05/18 17:17

A=

1…2
2…1

P=
1…1
ー1…1

1)は、
1…2
0…3
2) は、予測して
1…(3^n ) ー1
0…3^n

ところで、(P-1AP)^nは、
P-1AP・P-1AP・………・P-1AP =P-1A^n P なので
左右から、P とP-1を掛ければいいので、A^nは、
+ 1…1 1…3^n ー1 …1/2… ー1/2
ー1…1 0…3^n ………1/2…1/2

3^n…(3^n)ー1
0………1

が答えです。

この回答へのお礼

ですよね！！
先生の答えとどうしても合わないので、先生が書き間違えたのかもしれません。
ありがとうございました！

お礼日時：2017/05/19 00:29

No.3 回答者： horahukisann2017 回答日時： 2017/05/18 00:32

P の逆行列を P^(-1) ではなく、Q で表して、PQ = E, QP = E とすれば、

B = QAP で、B^n = (QAP)・(QAP)・(QAP)・…・(QAP) = Q(A^n)P となり、

B の左側から P を掛け、右側から Q をかけて、A^n が求まることがわかりやすいでしょうか。

この回答へのお礼

ありがとうございました！
助かりました。

お礼日時：2017/05/19 00:30

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/05/17 23:32

例えば

(P^-1AP)^2 = (P^-1AP)(P^-1AP) = P^-1A(PP^-1)AP = P^-1AAP = P^-1A^2P.

この回答へのお礼

あ、わかりやすいですね。
テストに出たら、小さい数で実験します！
ありがとうございました！

お礼日時：2017/05/19 00:32