tanの逆関数の積分について

∮ arctan√x dxの計算方法がわかりません。どなたか解き方を教えてください！

No.4 回答者： Ae610 回答日時： 2017/07/28 18:16

ANo.1・・!

人の回答にイチャモン付ける輩がいるとは・・!
おかしい言う前に実際どこまで確かめたのか(`´)!!

(arctan(√x)=tとでも置く・・!)
微分と積分の演算関係について気づけば、この置き方で回答が出てくる・・!

部分積分に持ち込んで計算した事だけ伝える・・!

実に不愉快である・・!

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2017/07/28 17:55

No1 と同じ答えになりましたがすみませんが、arctan x は tan x の逆関数なので数3か？

No1の置き方おかしいよ！どうして正解出てきたのか？そっちの方が、わからない！！！
来月まで、No1の返事を待たれては、どうでしょうか？

√x=y とおくと x=y^2 yで微分するとdx/dy=2y ∴ dx=2y dy
与式
=∮ arctan y 2ydy=2 ∮ y arctan y dy
部分積分より
=2 ∮(y^2/ 2) arctan y dy

→ =2 ∮(y^2/ 2) ' arctan y dy

(1)より
=2｛ (1/2)y^2 arctan y ー∮ (y^2 /2)(1/(1+y^2))dy｝
=y^2 arctan y ー∮ y^2/(1+y^2) dy
=y^2 arctan y ー ∮ (1+y^2ー1)/(1+y^2) dy
=y^2 arctan y ー∮ ｛ 1ー 1/(1+y^2) ｝dy
=y^2 arctan y ーy + ∮ 1/(1+y^2) dy
(1)より
=x arctan √x ー√x +arctan √x +C …Ans

尚 x=arctan y は、y=tan x =sin x /cos x なので、商の微分より
dy/dx
=(sinx)'cosxーsinx(cosx)' /(cosx^2)
=( sinx^2 +cos^2 ) /cos^2
∴ dx/dy=cos^2 / ( sinx^2 +cosx^2 )
cos^2で分母・分子割ると
dx/dy =( arctan x )'

→dx／dy=( arctan y )'

=1/(1+tanx^2 )
=1/(1+y^2 ) …(1)

訂正します！

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2017/07/28 21:11

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2017/07/28 16:53

No1 と同じ答えになりましたがすみませんが、arctan x は tan x の逆関数なので数3か？

No1の置き方おかしいよ！どうして正解出てきたのか？そっちの方が、わからない！！！
来月まで、No1の返事を待たれては、どうでしょうか？

√x=y とおくと x=y^2 yで微分するとdx/dy=2y ∴ dx=2y dy
与式
=∮ arctan y 2ydy=2 ∮ y arctan y dy
部分積分より
=2 ∮(y^2/ 2) arctan y dy
(1)より
=2｛ (1/2)y^2 arctan y ー∮ (y^2 /2)(1/(1+y^2))dy｝
=y^2 arctan y ー∮ y^2/(1+y^2) dy
=y^2 arctan y ー ∮ (1+y^2ー1)/(1+y^2) dy
=y^2 arctan y ー∮ ｛ 1ー 1/(1+y^2) ｝dy
=y^2 arctan y ーy + ∮ 1/(1+y^2) dy
=x arctan √x ー√x +arctan √x +C …Ans

尚 x=arctan y は、y=tan x =sin x /cos x なので、商の微分より
dy/dx
=(sinx)'cosxーsinx(cosx)' /(cosx^2)
=( sinx^2 +cos^2 ) /cos^2
∴ dx/dy=cos^2 / ( sinx^2 +cosx^2 )
cos^2で分母・分子割ると
dx/dy =( arctan x )'
=1/(1+tanx^2 )
=1/(1+y^2 ) …(1)

No.1 ベストアンサー 回答者： Ae610 回答日時： 2017/07/27 20:42

arctan(√x)=tとでも置く・・!

∫{arctan(√x)}dx = xarctan(√x) - √x + arctan(√x) + C　　(Cは積分常数)

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。tで置いても私には解くことができませんでした。

お礼日時：2017/07/28 15:03