数学の余弦定理、正弦定理

この二問の解き方おしえてください！

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2017/09/25 10:28

「この2問」って、(3)(4)のこと？　そうだとすると a, b, c, A, B, C の定義が書いてありません

質問を明確にしないと、正しい回答がもらえませんよ。

忖度して、三角形における、A, B, C は角度、 a, b, c はその角に相対する辺の長さとします。

(3) (b + c):(c + a):(a + b) = 4:5:6
より
　5(b + c)=4(c + a) →　4a - 5b - c = 0　　　①
　6(c + a)=5(a + b) →　a - 5b + 6c = 0　　　②
　6(b + c)=4(a + b) →　4a - 2b - 6c = 0　　　③
これを解けば
　①-③：-3b + 5c = 0 → c = (3/5)b　　④
①に代入して
　4a - 5b - (3/5)b = 0
　→　4a - (28/5)b = 0
　→　a = (7/5)b　　　　　⑥

よって
　a:b:c = (7/5)b : b : (3/5)b = 7 : 5 : 3

余弦定理より
　a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosA
→　cosA = (b^2 + c^2 - a^2)/2bc

これに④、⑥を代入すれば
　cosA = { b^2 + [(3/5)b]^2 - [(7/5)]^2)/[ 2*b*(3/5)b ]
　　　= (1 + 9/25 - 49/25) / (6/5)
　　　= (-15/25)*(5/6)
　　　= -1/2
0 < A < 180° なので
　A = 120°

(4) 同じように
　A:B:C = 5:4:3 のとき、
　　A + B + C = 180°
より
　A = 75°、B = 60°、C = 45°
ということになります。

正弦定理より
　　a/sinA = b/sinB = c/sinC
→　c = b*sinC /sinB = b*sin(45°) /sin(60°) = b * (1/√2) / (√3 /2) = (2/√6 )b = (√6 /3)b

よって
　b : c = b : (√6 /3)b = 1 : √6 /3 = 3 : √6

No.1 回答者： diff3356 回答日時： 2017/09/25 07:23

5. 「正弦の比は、辺の比」です。

すなわち、sinA:sinB:sinC=a:b:c です。したがって、与式の比の値をｋ(>0)とおくと、
a=13k, b=8k, c=7k となります。これが３辺の長さであると考えます。cosAを計算してください。