1/√（9+x^2）の積分のやり方を教えてください！

1/√（9+x^2）の積分のやり方を教えてください！
9+x^2がルートかかってます。

No.1 回答者： xs200 回答日時： 2019/02/09 18:10

あれ、公式じゃなかったっけ?

https://mathtrain.jp/x2a2

この回答へのお礼

URL載せて下さりありがとうございます！
覚えるような式なんですね

お礼日時：2019/02/10 09:09

No.2 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/02/09 18:13

手間ですが、2回置換積分を行うことで解くことができます。

結果も、複雑なのでご注意下さい。

x=3tanθとすると、
dx/dθ=3/(cosθ)^2
dx=(3/(cosθ)^2) dθ

1/√(9+x^2)=1/√(9+(3tanθ)^2)=1/√(9+9(tanθ)^2)=1/√(9(1+(tanθ)^2))=cosθ/3

∫(1/√(9+x^2)) dx
=∫(cosθ/3) (3/(cosθ)^2) dθ
=∫ (cosθ/(cosθ)^2)) dθ
=∫ (cosθ/(1-(sinθ)^2)) dθ

t=sinθとすると、
dt/dθ=cosθ
dt=cosθ dθ

∫ (cosθ/(1-(sinθ)^2)) dθ
=∫ (1/(1-t^2)) dt
=(1/2)∫ (1/(1+t) + 1/(1-t)) dt
=(1/2)(log|1+t|-log|1-t|)+C
=(1/2)log|(1+t)/(1-t)|+C
=(1/2)log|(1+t)^2/(1-t^2)|+C
=(1/2)log|(1+sinθ)^2/(1-(sinθ)^2)|+C
=(1/2)log|(1+sinθ)^2/(cosθ)^2|+C
=(1/2)log|((1+sinθ)/cosθ)^2|+C
=log|(1+sinθ)/cosθ|+C
=log|(sinθ/cosθ)+(1/cosθ)|+C
=log|tanθ+(1/√(cosθ)^2)|+C
=log|tanθ+√(1+(tanθ)^2)|+C
=log|(x/3)+√(1+(x/3)^2)|+C


∫(1/√(9+x^2)) dx = log|(x/3)+√(1+(x/3)^2)|+C（| |：絶対値、C：積分定数）

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/10 06:06

No.2 さんの素晴らしい説明から θ を消去して

直接 x から t へ置換するようにすると、
予備校のテキストが暗記を勧めている馬鹿げた
置換公式が現れます。