数Bの漸化式の問題についての質問です。 平面上にn個の円があって、それらのどの2つも異なる2点で交わ

数Bの漸化式の問題についての質問です。

平面上にn個の円があって、それらのどの2つも異なる2点で交わり、またどの3つも1点で交わらないとする。これらn個の円が平面をan個の部分に分けるとき、anをnの式で表せ。

n個の円が平面をan個の部分に分けるというところでこのan
は円の領域と円を取り除いた平面の領域の数ということです
か？
問題文があまりピンとこないので回答よろしくお願い致します！
できればでいいですが、図もあると助かります。

No.5 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/06/16 16:03

#3さんの図では矢印の区画が抜けてます。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/06/16 14:24

n 個の円が平面を a(n) 個の領域に分けるとする。

n+2 個めの円周は、既に書いた n 個の円によって
2n 個の円弧に区切られるが、その各円弧が
a(n) 個の領域のうち 2n 個を各 2 個づつに分割する。
つまり、 a(n+1) = a(n) + 2n.
初期条件 a(1) = 2 と合わせると、漸化式の解は
a(n) = a(1) + Σ[k=1..n-1] 2k
　　= 2 + 2・(n-1)n/2
　　= n^2 - n + 2.

No.3 回答者： ssawatake 回答日時： 2024/06/16 14:17

そういう事です。

「どの2つも異なる2点」の「どの2つも」が重要で、図の様になってるという意味。

どの2円をとっても必ず2点で交わってる図です。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/06/16 14:02

an=(2n-1)+(n-2)(n-1)+1=n²-n+2

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/06/16 11:48

画像のように円の外側も数えます