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数学の質問です。
a1>4 として漸化式an+1=√an+12 で定められる数列{an}を考える。
(1)、(2)で、an>4, an+1-4<1/8×(anー4) が成り立つことを証明しました。(3)でlim n→∞ an を求める際、解答が
an+1<1/8(an-4)<1/8×1/8(an-2-4)・・・
<(1/8)∧1/n (a1-4) となり、はさみうちの定理で
0<an<(1/8)∧1/n (a1-4) ・・・①
より極限を求めているのですが、(3)の問題文の<を=に変えて出来た漸化式を解いた数列{an}の一般項が、①の1番右の式と同じになります。そこで、数列{an}の一般項と①の不等式の1番右の式との間に関連性があるのではと考えているのですが、なぜかそうなるのか分かりません。くだらないことで悩んでいるとは思いますが、ご教授お願いします。
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No.3ベストアンサー
- 回答日時:
(2)の問題文の<を=に変えて出来た漸化式を解いた数列
の誤字かな?
a1 = A1 > 4,
a[n+1] = √( a[n] + 12 ),
A[n+1] - 4 = (1/8)( A[n] - 4 ).
で数列 A[n] を定めると、
0 < a[n] - 4 < A[n] - 4 が成り立つから、
lim[n→∞] A[n] - 4 = lim[n→∞] (a[1] - 4) (1/8)^(n-1) = 0 より
ハサミウチの定理で lim[n→∞] a[n] - 4 = 0 が言える。
君の言ってることは、解答の趣旨そのものだよ。
No.1
- 回答日時:
尻滅裂なので回答のしようもないがあえて
>an+1<1/8(an-4)<1/8×1/8(an-2-4)・・・
<(1/8)∧1/n (a1-4) となり、はさみうちの定理で
0<an<(1/8)∧1/n (a1-4) ・・・① <
●
a[n+1]-4<(1/8)(an-4)<(1/8)²(a[n-1]-4)・・・
<(1/8)ⁿ (a₁-4) となり、はさみうちの定理で
0<a[n]-4<(1/8)ⁿ⁻¹ (a₁-4) ・・・①
と思う。
>(3)の問題文の<を=に変えて出来た漸化式・・・<
●(3)の問題文に < は無い。(2)と思うが、論理が同じだから当然。
自覚している通りくだらないことは考えないことです。
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