No.4ベストアンサー
- 回答日時:
x=sinθ
cos(2θ)=1-2(sinθ)^2=1-2x^2
g(x)
=(1/2)(1-2x^2)+2kx+k/3-7/6
=1/2-x^2+2kx+k/3-7/6
=-x^2+2kx+(k-2)/3
=-(x-k)^2+k^2+(k-2)/3
=0
(x-k)^2=k^2+(k-2)/3
x=k±√{k^2+(k-2)/3}
0<θ<π
0<sinθ≦1
(0<k+√{k^2+(k-2)/3}<1)&(k-√{k^2+(k-2)/3}≦0)と仮定すると
0≦√{k^2+(k-2)/3}<1-k
k<1
-k<√{k^2+(k-2)/3}
k≦√{k^2+(k-2)/3}
|k|≦√{k^2+(k-2)/3}
k^2≦k^2+(k-2)/3
0≦k-2
2≦k
となってk<1に矛盾するから不適
(1<k+√{k^2+(k-2)/3})&(0<k-√{k^2+(k-2)/3}<1)のとき
√{k^2+(k-2)/3}<k
k^2+(k-2)/3<k^2
k-2<0
k<2
1-k<√{k^2+(k-2)/3}
k-1<√{k^2+(k-2)/3}
|k-1|<√{k^2+(k-2)/3}
(k-1)^2<k^2+(k-2)/3
k^2-2k+1<k^2+(k-2)/3
-2k+1<(k-2)/3
-6k+3<k-2
5<7k
∴
5/7<k<2…(1)
(k^2+(k-2)/3=0)&(0<k<1) のとき
k^2+(k-2)/3=0
3k^2+k-2=0
(k+1)(3k-2)=0
k+1>1>0だから
∴
k=2/3
↓これと(1)から
∴
k=2/3.または.5/7<k<2
No.5
- 回答日時:
No.3 です。
ああ、#3 は「0<x<1 の範囲に重解がある」という条件しか考えませんでしたが、これ以外に #4 さんのとおり
一般解
x = k ± √[k^2 + (k - 2)/3]
が異なる実数解である場合に対して
(i) k - √[k^2 + (k - 2)/3] ≦ 0 < k + √[k^2 + (k - 2)/3] < 1 となる場合
(ii) 0 < k - √[k^2 + (k - 2)/3] < 1 < k + √[k^2 + (k - 2)/3] となる場合
という条件も必要ですね。
No.3
- 回答日時:
(1) はできているようなので、質問したいのは (2) でしょうか?
0<θ<π では、θ=π/2 を除いて
x = sinθ
は「2値関数」です。
従って、
g(x) = 0
を満たす x の実数解が1つ(つまり重解)のときに、0<θ<π の θ の実数解が2つになります。
θ=π/2 つまり x = sin(π/2) = 1 のときには θ の実数解は1つなので、題意を満足しません。
従って、
0 < x < 1
で g(x)=0 の方程式が重解をもつときに、 θ の実数解が2つということになります。
(1) で
g(x) = -x^2 + 2kx + (k - 2)/3
が求まっているので、(2) を満足するのは
g(x) = -x^2 + 2kx + (k - 2)/3 = 0 ①
が重解をもつときで、判別式より
D/4 = k^2 + (k - 2)/3 = 0
→ 3k^2 + k - 2 = 0
→ (3k - 2)(k + 1) = 0
よって
k = -1, 2/3
k = -1 のとき、①は
-x^2 - 2x - 1 = 0
→ (x + 1)^2 = 0
→ x = -1
これは 0<x<1 を満足しないので不適。
k = 2/3 のとき、①は
-x^2 + (4/3)x - 4/9 = 0
→ 9x^2 - 12x + 4 = 0
→ (3x - 2)^2 = 0
→ x = 2/3
これは 0<x<1 を満足する。
以上より、0<θ<π の θ の実数解が2つになるのは
k = 2/3
このときの θ の値は
x = sinθ = 2/3
より
θ = arcsin(2/3)
ここで、0 ≦ arcsin(2/3) ≦ π/2 なので、0<θ<π では
θ = π - arcsin(2/3)
も θ の解となります。
No.2
- 回答日時:
問題文がちょっと舌足らずだな。
(1)のg(x)が意図するところは「θを含まない式」にしろ、ってことでしょう。cos(2θ)をsinθで表すには加法定理か「倍角公式」を使えばいいですね。(2)はおそらく、(2つ以上ではなくて)ちょうど2つの実数解を持つようなkの範囲を尋ねているつもりじゃないかしらん。だとすると、「g(x)=0がちょうど1つの解Xを持っていて、かつ0<X<1である」ということと「g(X)=0で、かつ方程式sinθ=Xが0<θ<πにちょうど2つの解を持つこと」は同値ですね。お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
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