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隣接する2つの原子面の面間隔dは、ミラー指数hklと格子定数の関数である。立方晶の対称性をもつ結晶では

d=a/√(h^2 + k^2 + l^2)

となる。

なぜこうなるのか証明せよといわれたのですが
どうやってすればよいでしょうか?
2次元で考えると簡単だと聞いたのですが…。

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A 回答 (2件)

高校の知識しか使ってないと思いますが、、、基本並進ベクトルや逆格子ベクトルがまずかったですか?ミラー指数の定義を知っていれば当然知っていると思ったのですが。

三平方の定理では中学生の知識ですよね。まあ良いです。一般的な証明にはならなくなりますが、平面で三平方の定理のみを使って証明してみます。

平面の場合、(hkl)面は(na/h,0)、(0,na/k)を通る直線に対応すると思います。n=0の場合とn=1の場合の直線間の距離を求めてみます。

n=1の場合の直線(直線1とします)は(a/h,0)と(0,a/k)を通る直線でn=0の場合の直線は原点を通り、直線1と平行な直線になります。2つの直線の距離は原点と直線1との距離で求められます。

平面上に原点O、点A(a/h,0)、点B(0,a/k)の3点を書いてみましょう。原点と直線ABとの距離dは原点から直線ABに下ろした垂線の足を点Hとして、OHで求められます。

三角形OABは直角三角形なので、
OA・OB=AB・OH
より、
d=OH=OA・OB/AB=(a/h・a/k)/√((a/h)^2+(a/k)^2)=a/√(h^2+k^2)
となります。

これでよいでしょうか?

書いていて気づいたのですが、これが課題やレポートのテーマであった場合、回答するのは規約違反になるんですね。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
教科書のような回答じゃなくて、まったく材料工学のことを知らないひとにも分かるように…とのことだったのでこのような質問になってしまいました。
本当にたすかります。

お礼日時:2005/10/14 00:24

ここでいう面間隔dとは、ミラー指数(hkl)面の面間隔d(hkl)だと思います。



立方晶では、格子定数をaとすると、(hkl)面とはnを整数として、(na/h,0,0),(0,na/k,0),(0,0,na/l,)を通る面のことを指します。この面の間隔がd(hkl)になります。a1、a2、a3を基本並進ベクトルとすると、(hkl)面上のベクトルは、パラメタ p,q,rを用いて、p*a1/h+q*a2/k+r*a3/l (ただし、p+q+r=n)と表せます。

あとは、例えばn=0の面とn=1の面の距離を求めれば良いわけですが、逆格子ベクトルG(hkl)=h*b1+k*b2+l*b3(b1、b2、b3は逆格子の基本並進ベクトル)と(hkl)面が垂直であることが示せるので(同じ(hkl)面上の任意の2点を結んだベクトルとG(hkl)の内積はゼロ)、面間隔は(n=1の面上の任意の点とn=0の面上の任意の点を結んだベクトル、例えばa1/h)と(逆格子ベクトルと平行な単位ベクトルG(hkl)/|G(hkl)|)の内積で求められることになります。

すなわち、
d(hkl)=a1/h・G(hkl)/|G(hkl)|=a/√(h^2+k^2+l^2)
となります。

これでわかるでしょうか?もっとわかり易い説明があるかもしれませんが、最も一般的な証明法かと思われます。

この回答への補足

回答ありがとうございます。
ただ、高校生にも分かるように…とのことなので、
平面(2次元として)で考えて、三平方の定理などか
ら証明することは可能なのでしょうか?

補足日時:2005/10/13 01:19
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Qミラー指数:面間隔bを求める公式について

隣接する2つの原子面の面間隔dは、ミラー指数hklと格子定数の関数である。立方晶の対称性をもつ結晶では

d=a/√(h^2 + k^2 + l^2) ・・・(1)

となる。

質問:「(1)式を証明せよ」と言われたのですが、どうすれば言いかわかりません。やり方を教えてもらえませんか_| ̄|○

Aベストアンサー

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベクトルと全く同じになります。すなわち立方晶の(111)面の法線ベクトルは(1,1,1)ですし、(100)面の法線ベクトルは(1,0,0)です。法線ベクトルなら「ミラー指数」よりずっと親しみがあり解けそうな気分になると思います。

さて(hkl)面に相当する平面の方程式を一つ考えてみましょう。一番簡単なものとして
hx + ky + lz=0  (1)
があります。(0,0,0)を通る平面で法線ベクトルは(h,k,l)です。
これに平行な、隣の平面の式はどうでしょうか。
hx + ky + lz = a  (2a)
hx + ky + lz = -a  (2b)
のいずれかです。これがすぐ隣の平面である理由(そのまた間に他の平面が存在しない理由)は脚注*2に補足しておきました。
点と直線の距離の公式を使えば、題意の面間隔dは原点(0,0,0)と平面(2a)の間隔としてすぐに
d=a/√(h^2+k^2+l^2)  (3)
と求められます。

点と直線の距離の公式を使わなくとも、次のようにすれば求められます。
原点Oから法線ベクトル(h,k,l)の方向に進み、平面(2a)とぶつかった点をA(p,q,r)とします。
OAは法線ベクトルに平行ですから、新たなパラメータtを用いて
p=ht, q=kt, r=lt  (4)
の関係があります。
Aは平面(2a)上の点でもありますから、(4)を(2a)に代入すると
t(h^2+k^2+l^2)=a
t=a/(h^2+k^2+l^2)  (5)
を得ます。
ここにOAの長さは√(p^2+q^2+r^2)=|t|√(h^2+k^2+l^2)なので、これを(5)に代入して
|a|/√(h^2+k^2+l^2)  (6)
を得ます。OAの長さは面間隔dにほかならないので、(3)式が得られたことになります。

bokoboko777さん、これでいかがでしょうか。

*1 (h, k, l)の組が共通因数を持つ場合には、共通因数で割り互いに素になるようにします。例えば(111)面とは言いますが(222)面なる表現は使いません。
*2 左辺はhx+ky+lzでよいとして、なぜ右辺がaまたは-aと決まるのか(0.37aや5aにならないのは何故か)は以下のように説明されます。
平面をhx+ky+lz = C (Cはある定数)と置きます。この平面は少なくとも一つの格子点を通過する必要があります。その点を(x0,y0,z0)とします。
h,k,lはミラー指数の定義から整数です。またx0,y0,z0はいずれもaの整数倍である必要があります(∵格子点だから)。すると右辺のCも少なくともaの整数倍でなければなりません。
次に右辺の最小値ですが、最小の正整数は1ですから平面hx + ky + lz = aが格子点を通るかどうかを調べ、これが通るなら隣の平面はhx + ky + lz = aであると言えます。このことは次の命題と等価です。
<命題>p,qが互いに素な整数である場合、pm+qn=1を満たす整数の組(m,n)が少なくとも一つ存在する
<証明>p,qは正かつp>qと仮定して一般性を失わない。
p, 2p, 3p,...,(q-1)pをqで順に割った際の余りを考えてみる。
pをqで割った際の余りをr[1](整数)とする。同様に2pで割った際の余りをr[2]・・・とする。
これらの余りの集合{r[n]}(1≦n≦(q-1))からは、どの二つを選んで差をとってもそれはqの倍数とは成り得ない(もし倍数となるのならpとqが互いに素である条件に反する)。よって{r[n]}の要素はすべて異なる数である。ところで{r[n]}は互いに異なる(q-1)個の要素から成りかつ要素は(q-1)以下の正整数という条件があるので、その中に必ず1が含まれる。よって命題は成り立つ。

これから隣の平面はhx + ky + lz = aであると証明できます。ただここまで詳しく説明する必要はないでしょう。証明抜きで単に「隣の平面はhx + ky + lz = aである」と書くだけでよいと思います。

参考ページ:
ミラー指数を図なしで説明してしまいましたが、図が必要でしたら例えば
http://133.1.207.21/education/materdesign/
をどうぞ。「講義資料」から「テキスト 第3章」をダウンロードして読んでみてください。(pdfファイルです)

参考URL:http://133.1.207.21/education/materdesign/

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
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Q面間隔の意味がわかりません

面間隔の意味がわかりません
立方格子の結晶面(hkl)の面間隔=a/√(h^2+k^2+l^2)(式(1))だと習いました.
この式の説明として「面間隔は原点から面までの距離」ということが出てきました.
僕は面間隔の説明として「ある面の面間隔は,その隣りの立方格子の同じ位置にある結晶面までの距離」だと思っていました.

ここで思ったことがあります.
結晶面(020)の面間隔を求めるとします.

この数値式(1)に代入するとd=a/2となります.
これが正しいなら「面間隔は原点から面までの距離」と言う説明があっているような気がします.

しかし,(020)は最もかんたんな整数比に直すと(010)となり,面間隔d=aとなります.
これが正しいなら「ある面の面間隔は,その隣りの立方格子の同じ位置にある結晶面までの距離」が合っている気がします.

どちらが面間隔の説明として正しいのですか?

Aベストアンサー

結晶模型を組んで横から見てください。
1つの面上に格子点が並んでいる面がいくつか見えます。
こういう面があるということがまず出発点です。

>面間隔は原点から面までの距離

原点は数学的な原点ではありません。格子点の1つです。
立方格子の1つの格子点を原点にとっているのです。
この原点を通る面も同じようにあるのです。
「原点から面までの距離」というのは
「原点を通る面とその隣の面までの距離」と言っていることと同じです。

立方格子の結晶模型といっても立方格子を作る6つの格子点だけでできた模型を考えている場合が多いです。体心立方格子ならその中にもうひとつ格子点を入れます。
これでは面を考えるのには不足です。
10個ぐらい立方体が繋がっている模型を作って考えてみてください。

Q格子定数の求め方教えてください!!

こんにちは。
僕は、結晶学を勉強している大学生です。
現在、斜方晶構造の格子定数を算出しようと勉強しているのですが格子定数a, b, cを求める式を作ることができません。ご存知の方教えて教えて下さい。
斜方晶の関係式は以下のようになります。
1/d^2 = h^2/a^2 + k^2/b^2 + l^2/c^2
d, h, k, lの値は既知でa=,b=,c=の式を教えていただきたいです。
また、格子定数を簡単に求められるソフトなどをお知りであれば教えて下さい。
どうかよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

> 格子定数a, b, cを求める式を作ることができません。

これは初等数学の教えるとおり,線形独立な(=異なる面方位の)3つ以上の関係がない限り,どうやっても求まりません。線形独立な式が3つあるなら,三元一次連立方程式を解けばよいだけです。

> 斜方晶の関係式は以下のようになります。

斜方晶だけでなく,正方晶でも立方晶でも成り立ちます。

> 格子定数を簡単に求められるソフト

XRD などのブラッグの回折パターンから格子定数を精密に求めるには,通常,リートベルト解析という計算を行います。RIETAN というソフトが有名です。ただ,大雑把で良くて,点群が分かっていて面指数まで分かっているなら,電卓で十分計算できると思います。

Q面心立方と体心立方の逆格子

固体物理の勉強をしています。
体心立方構造の(hkl)面の逆格子点 g*=ha* + kb* + lc*を逆空間で描くと面心立方構造になるらしいのですが、理由がわかりません。
分かる方いましたら、教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

単純な計算だけで分かります。
体心立方格子のユニットベクトルは
a1=(-a/2,a/2,a/2), a2=(a/2,-a/2,a/2), a3=(a/2,a/2,-a/2)
です。aは格子定数です。
逆格子ベクトルは b1=2π(a2x a3)/(a1(a2xa3)) などですから、単純に計算すれば
b1=2π/a(0,1,1) , b2=2π/a(1,0,1), b3=2π/a(1,1,0)
となり、これは面心立方格子のユニットベクトルです。

Q格子の面間隔について

お世話になってます立方格子の面間隔について教えていただきたいのですが格子定数がaとしたときミラー指数(110)の面間隔についてですが

面心立方格子はa/2√2、体心立方格子の場合a/√2となりますよね?

面心立方格子がこうなる理由が分からないです。

これはxyzの座標軸を取った時に真上から見るとx=y=a/2となるところに原子が存在するということでこのような長さになるのでしょうか?
それともこの考え方ではおかしいのでしょうか。
だとすると体心立方と面心立方各々の(111)での面間隔はどのようになるのでしょうか?

分かりにくい日本語になってしまいましたが、どなたか教えてください。
お願いしますm(__)m

Aベストアンサー

回答2の回答者です。

> 結晶の全体構造をとらえるためには「単位構造」で考えた方がよいが、面間隔などを求めるためには「最小単位構造」で考えた方がよいということなのでしょうか?

基本単位構造の作り方はいくつも有りますし、たいていの場合には分かりにくい形になるので、必ずしもお勧めでは無いですが。何故、単位構造の基本面間隔が本当の面間隔にならないのか?という理解の1方法と思います。

> もう一つ分からないことがあるのですが、面心立方(100)の間には(200)面が存在するとのことですけど(100)面の間には(1/2 00)面があるように思えるのですがどうして(1/2 0 0 )ではなく(2 0 0 )と表せるのでしょうか?

ミラー指数(h,k,l)の定義は、それぞれの座標軸の単位格子位置の1/h,1/k,1/lの切片を含む面であることを忘れていませんか?つまり、面指数の場合には、数字が大きい方が原点に近い面になります。格子位置を表す方向ベクトルの指数とは大小関係が逆になりますので、注意してください。
なぜ、こういう変な指数定義をするかというと、この先に結晶構造やそれに関連した物理現象を考えていくのには、結晶の格子or面間隔よりもその逆数を使うことの方が圧倒的に多いからです。それで、結晶構造解析などでは、格子位置の逆数を使った「逆格子空間」というものを頻繁に使います。この逆格子空間ではミラー指数の定義が便利なわけです。

回答2の回答者です。

> 結晶の全体構造をとらえるためには「単位構造」で考えた方がよいが、面間隔などを求めるためには「最小単位構造」で考えた方がよいということなのでしょうか?

基本単位構造の作り方はいくつも有りますし、たいていの場合には分かりにくい形になるので、必ずしもお勧めでは無いですが。何故、単位構造の基本面間隔が本当の面間隔にならないのか?という理解の1方法と思います。

> もう一つ分からないことがあるのですが、面心立方(100)の間には(200)面が存在するとの...続きを読む

Q六方晶における格子面を(0001)と4桁で

3次元結晶の場合、格子の面や格子ベクトルは
3つの数字の組(001)などで確か全て表せます。

六方晶でも3つの数字の組で表せるのですが、4つの数字の組で表した方が理解しやすいので、この記法が使われることがあります。

4つの数字と3つの数字の関係はどうなりますか?
4つの数字には別の拘束条件がありそうですが、
いかがでしょうか?

このことについて書いてあるwebとか本をご存知ないですか? ちょっと探したけれど見つからなかったので。

よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

六方結晶の場合は(0001)というような表し方ですね。いわゆるc軸が4桁目になります。(h,k,l,m)の場合、h + k = -l の関係があります。

参考URLに出典例を書きましたが、"ミラー指数" "0001"で検索すると、関連ページが56件ありました。

参考URL:http://www.f-denshi.com/000okite/300crstl/304cry.html

Qブラッグの式で使われるn次反射について

ブラッグの式で使われるn次反射についてお聞きしたいのですが、
nは1からあるようなのですが、いまいちn次反射についてわかりません。
n次反射について詳しく教えていただけないでしょうか?

Aベストアンサー

ブラックの反射式は
2d sin θ=nλ
(d:面間隔,θ:入射角,λ:波長)
ですね。
nは2d sinθが波長(λ)何個分に相当するかを示した数値です。そのままですね。
あるθ1とθ2で反射ピークを観測したとします。
その時、2d sin θ1=λ、2d sin θ2=2λ
を満たすとき、θ2に現れた反射ピークはθ1で観測した反射ピークの2次反射であるといいます。
高次反射は必ず発生しますが、nが大きくなればなるほど広角になるので反射強度が弱くなり観測が難しくなります。

余談ですが、このn値は逆格子上の指数?(h,k,lの最小公倍数の倍数)と一致します。X線主体の本はこれで説明することが多いようですが、実格子と逆格子を併用してイメージするのはかなり難しいと思います。逆格子は解析するには便利なツールですが、これで現象を理解する事はかなり難しいと思います。

Q波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式は?

波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式を知っていたら是非とも教えて欲しいのですが。
どうぞよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

No1 の回答の式より
 E = hc/λ[J]
   = hc/eλ[eV]
となります。
波長が nm 単位なら E = hc×10^9/eλ です。
あとは、
 h = 6.626*10^-34[J・s]
 e = 1.602*10^-19[C]
 c = 2.998*10^8[m/s]
などの値より、
 E≒1240/λ[eV]
となります。

>例えば540nmでは2.33eVになると論文には書いてあるのですが
>合っているのでしょうか?
λに 540[nm] を代入すると
 E = 1240/540 = 2.30[eV]
でちょっとずれてます。
式はあっているはずです。

QシリコンのXRDデータから面指数を求めるやり方

以下はSiのXRDのデータの一部です。このピークが面指数004からのものなのですが、その求め方を解説していただけないでしょうか。l(f),l(v)が何を意味しているのかはっきりとわからなかったのですが、他のピークとの強度の総対比を表してるのではないかなあと思います。
d(A), l(f), l(v), 2θ, θ, 1/(2d)
1.3577, 6, 14, 69.130, 34.565, 0.3683

X線はCuKα1で、波長λ=1.5406です。

このようなものを見積もるフリーソフト、Webデータベースがあると聞いたのですが、あるのでしょうか。

Aベストアンサー

>面指数(hkl)がなぜ、004となるかについてです。

(hkl)=(004)なのです。質問になってません。

>面間隔はd=1.3577 A, 2θは69.136です。格子定数は5.430Aです。XRDで試料を分析したとき、どのピークがどの面指数からのものかを決定する方法がわからなくて困ってます。


格子定数が5.430Aということは立方晶ですね?
その場合下記の計算になります。

逆格子ベクトル g=√(h^2+k^2+l^2)/a=0.7366
面間隔 d=1/g=1.3575
(こんな計算しなくても(001)が5.43だから5.43/4=1.3575でもいいですが)

2d sinθ=λ
θ=sin^-1(λ/2/d)=34.57
2θ=69.14

すなわち格子定数が分かっていれば2θは一意に求まります。

強度比は結晶構造因子やローレンツ因子などを計算しなくてはいけません。
下記サイトはXRDプロファイルを書いてくれます。
PDF(acrobatのほう)になって出力されます。demoでログインすれば良いでしょう。これで見ると28.5°くらいに最大ピークがありますね。反射の候補は以下があります。
h k l d
1 1 1 3.136
2 2 0 1.920
3 1 1 1.637

面間隔から2θ=28.5°は(111)反射なのでしょう。

JCPDSカードのd(A), l(f), l(v), 2θ, θ, 1/(2d)のリスト部を全て見せてくれれば、データの解釈は分かります。

参考URL:http://icsd.ccp14.ac.uk/icsd/

>面指数(hkl)がなぜ、004となるかについてです。

(hkl)=(004)なのです。質問になってません。

>面間隔はd=1.3577 A, 2θは69.136です。格子定数は5.430Aです。XRDで試料を分析したとき、どのピークがどの面指数からのものかを決定する方法がわからなくて困ってます。


格子定数が5.430Aということは立方晶ですね?
その場合下記の計算になります。

逆格子ベクトル g=√(h^2+k^2+l^2)/a=0.7366
面間隔 d=1/g=1.3575
(こんな計算しなくても(001)が5.43だから5.43/4=1.3575でもいいですが)

2d...続きを読む

Qブリュアンゾーンの物理的な意味

 ブリュアンゾーンは、逆格子空間のウィグナーサイツセルとして定義されますが、物理的にはどんな意味があるのでしょうか。いまいち具体的なイメージがわきません。キッテルを使って勉強しているのですが、回りくどくてよくわかりません。
 さらに、フォノンの波数ベクトルが-π<Ka<-πに限定されると、なぜそこがブリュアンゾーンに対応しているのでしょうか。
 数式はキッテルに載っているので、できるだけ物理的な意味やイメージをお教えいただければと思います。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

○ブリユアンゾーンがなぜ波数なのか?

#1で述べた通り、そもそも逆格子空間とは、波数空間なのです。ですから、その一部であるブリユアンゾーンも当然波数ですよね。

○なぜウィグナーサイツセルがブリルアンゾーンになるのか?

例えば、いきなり三次元で考えると難しいので、二次元(x-y平面)の正方格子で考えます。基本格子ベクトルa1,a2から実際に基本逆格子ベクトルb1,b2を計算してみてください。y軸方向のベクトルと、x軸方向のベクトルになったと思います。
基本逆格子ベクトルb1とb2を線形結合をとることにより、一般の逆格子ベクトルGが得られますが、ゼロベクトルを別とすれば、逆格子ベクトルGの中で大きさが最も小さいのは、b1,b2含めて全部で4つですよね。この4つのベクトルを原点から書いてみて下さい。
で、結論から言いますと、これらのベクトルの垂直二等分線で囲まれた領域(四角形)がブリユアンゾーンとなるわけですが、それは何故かを考えます。
いま、
(1)このような四角形を逆格子ベクトルだけ移動させて張り合わせていくと、全平面を埋め尽くすことができますよね。また、
(2)四角形の内側の点から逆格子ベクトルだけ離れた点はすべて四角形の外側にあることになります。(つまり、ブロッホ波の波数kの周期的な任意性による重複がこの四角形の中にないってこと。)
ブロッホ波の波数kの任意性の周期は基本逆格子ベクトルですから・・・・もうこの四角形の内部の点だけを考慮すればいいことになりますよね!だから、こうやって定義された四角形はブリユアンゾーンとなるわけです。

この考え方が他の構造にも適用できます。

○ブリユアンゾーンがなぜ波数なのか?

#1で述べた通り、そもそも逆格子空間とは、波数空間なのです。ですから、その一部であるブリユアンゾーンも当然波数ですよね。

○なぜウィグナーサイツセルがブリルアンゾーンになるのか?

例えば、いきなり三次元で考えると難しいので、二次元(x-y平面)の正方格子で考えます。基本格子ベクトルa1,a2から実際に基本逆格子ベクトルb1,b2を計算してみてください。y軸方向のベクトルと、x軸方向のベクトルになったと思います。
基本逆格子ベクトルb1とb2を線形...続きを読む


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