二重積分

∫∫e^{-(x+y)^2} dxdy　（積分領域はx≧0，y≧0）
の求め方が分かりません。
色々置き換えなどをやってみたのですが
（例えばx+y=u，x=vとかx+y=u，x-y=vなど）
うまくいきません。
どなたか教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いします。

No.1 回答者： siegmund 回答日時： 2003/12/28 18:17

(1)　　I = ∫∫e^{-(x+y)^2} dxdy　　(積分領域はx≧0，y≧0）

標準的には極座標でしょう．
x = r cosθ，y = r sinθ
とすると
(2)　　I = ∫{0～π/2}dθ ∫{0～∞} e^{-r^2 (cosθ+sinθ)^2} r dr
ですが，r の積分は簡単にできて
(3)　　I = (1/2) ∫{0～π/2}dθ {1/(cosθ+sinθ)^2}
　　　　 = (1/2) ∫{0～π/2}dθ {1/[1+sin(2θ)]}
になります．
積分公式
(4)　　∫ {1/[1+sinφ]} dφ = tan(φ/2 - π/4)
を使えば，(3)の最終辺も積分できます．
係数のあたりはお任せしますが，最終的には I=1/2 と思います．
計算ミスやタイプミスもあるかも知れませんから，チェックもよろしく．

なお，x+y=u，x-y=v のような置き換えでもできるはずと思いますが，
u,v の積分範囲がからみますから，極座標の方が簡単でしょう．

No.2 ベストアンサー 回答者： kony0 回答日時： 2003/12/28 19:20

u=x+y,v=xとおくと、積分範囲は、D={(u,v)|u≧0, 0≦v≦u}

ヤコビアンを考えて、dxdy=dudv

∫∫_{D} e^(-u^2) dudv
=∫{u:0→∞}e^(-u^2)*{∫{v:0→u}dv}du
=∫{u:0→∞}ue^(-u^2)du
=[(-1/2)*e^(-u^2)]
=1/2

・・・極座標より、よっぽど簡単だと思いますが。

この回答へのお礼

うまくいきました。
どうもありがとうございました。

お礼日時：2003/12/28 20:58

No.3 回答者： grothendieck 回答日時： 2003/12/28 19:54

gouwu-xさん、こんにちは。

私は最初これはガウス積分で√πが出てくるはずではと思いましたが、そうではないようです。参考のため、siegmund先生が書かれているx+y=u,x-y=vの変数変換でやってみましょう。x=(1/2)(u+v), y=(1/2)(u-v)なのでx≧0，y≧0は(u,v)平面では(u+v)≧0, (u-v)≧0になります。ヤコビアンを計算すると-1/2で、重積分をvの積分からするとvの範囲は-u≦v≦uなので
　∫e^{-(x+y)^2} dxdy
=(1/2)∫[0～∞]du∫[-u～u]dv e^{-u^2}
=∫[0～∞]du u e^{-u^2}
=(-1/2) e^{-u^2}|[0～∞]
= 1/2
となります。

この回答への補足

回答ありがとうございました。
この計算結果から∫[0→∞] e^(-x^2)dx
の値が求められるそうなのですが分かりますか？
答えが√Π/2になるのは有名ではありますが・・・

補足日時：2003/12/28 21:45

No.4 回答者： siegmund 回答日時： 2003/12/28 21:04

No.1 の siegmund です．

kony0 さんと grothendieck さんのような変数変換の方が簡単でした．
やっぱりちゃんとやってみないといけませんでした．
u,v の積分範囲がからむので，e^(-u^2) の有限範囲の積分(つまり誤差積分)が
現れそうだと早合点してしまいました．
答を間違えなかったので，そこだけは何とかよかったけれど．

kony0 さん，grothendieck さん，ご指摘ありがとうございました．