有効数字について（物理）

Question

物理の計算においてなぜ有効数字が必要なのでしょうか？以前、別のサイトで同様の質問をさせていただいておりましたが、いまいちわからず、考えておりましたが、ふと自分なりの解釈ですが、わかりかけた感じがしました。以下に記します。

例えば、私の体重（質量ｍ）が60.000001キロだとします。重力加速度g約9.8m/s^2とします。私の左半身の体重（自重の50％）の約70％が左足のかかと（面積を約0.01m^２とします。）にかかっているとします。左足かかとにかかる圧力Pはいくらか、という問題があったとします。

計算　（質量ｍ）60.000001*（重力加速度ｇ）9.8m/s^2＝588.0000098N
　　　　588.0000098*1/2*7/10＝205.80000343Ｎ
　　　　･･･①＝Ｆ（地面にかかる力）

　　　①を圧力Ｐ＝F(N)/S(m^2)の式に代入
　　　＝205.80000343Ｎ/0.01(m^2)=20580.000343N/m^2(Pa)
     　 =205.80000343(hpa）
　　　有効数字２ケタにあわせ　2.1*10^2(hpa)

質問１：実際の強度や構造計算などの実測など、現実世界では10.0や１５のようにちょうどぴったりとまることはなく、かつ計算方式や測定方法により必ず誤差、割り算であれば無理数・無限小数のようなものが生じる。よって、確実に信頼できる数字を、計算式の一番少ない桁にあわせ、上記のように数字を丸める作業が必要になってくる。こういう理解でよろしいでしょうか？

質問２：自分なりに調べたりする中で気になりました。例えば確実に信頼できる上位3桁の有効数字であらわすとすると、例えば・・・

　99･9999と100.0001は近似値で、むしろ最初の上位３桁は信頼に値する数字ではな意のではないか？このような場合、有効数字はどのように考えるのでしょうか？

質問３：とりあえず論点をわかりやすくするため、立式途中有効数字は使いませんでした。私の有効数字の使い方に誤りあればご指摘くださいませ。

以上、３点、長くなりましたがよろしくお願いいたします。

yhr2 · Accepted Answer

＞質問１

はい。そういう理解でよろしいと思います。
ただ、有効数字は、実は「計算処理上の便利な実用的な方法」であって、本当はきちんと「誤差評価」をしないといけません。でも、これは非常に面倒なので、「簡便な近似的な方法」として「有効数字」という方法を使っています。

例えば、体重が　65.3 kg 、有効数字は３桁といったときには、「誤差」という観点からいうと、 ± 0.05 kg の誤差を持っているということです。つまり、真値は
　65.3 ± 0.05 kg
の中にあるということです。

これを使って、重力加速度 9.80 m/s² から「重力」の大きさを計算すると
　(65.3 ± 0.05) × 9.80 = 639.94 ± 0.49　　　①
になります。
これは、
　　639.45 ～ 640.43
のどこかに「真値」があるということです。これが、①の計算結果の「確かさの範囲」ということです。
これを、学術論文などでは正確に「640 ± 0.5 N」などと書きます。
ただし、ふつうにはいちいち「± 0.5」の誤差範囲を付けて書くのは面倒なので、代表的な「１つの値」で表わさないといけません。本当は難しいのですが、「だいたい640ぐらい」ということが分かりますよね。

これを、「何となく」決めるのではなく、「計算のもとが３桁なので、結果も３桁で表わすことにして、４桁目を四捨五入する」と決めて、①の結果から
　639.94 → 640
とするのが「有効数字」の考え方です。
要するに「確かさの範囲」の「ほぼ真ん中の数値」を「計算のもとになった数値の桁数で」表わすことにしようという「取り決め」です。裏には、①に書いたような「確かさの範囲」というものがあるのです。

＞質問２

＞99･9999と100.0001は近似値で、むしろ最初の上位３桁は信頼に値する数字ではな意のではないか？

これは考え方がおかしいです。上に書いたように、
　99.9999 とは、99.9999 ± 0.00005 のこと
　100.0001 とは、100.0001 ± 0.00005 のこと
なので、「最初の上位３桁は信頼に値する数字ではない」ということはあり得ません。

もし「小数以下は信用できなくて、誤差が ± 0.5 ある」というのであれば
　99.9999 の 0.9999 は誤差を含んでいて、小数点以下は 0.4999 ～ 1.4999 という「確かさの範囲」であれば、こんなに小数点以下細かく書いても「誤差ばかり」になってしまうので、「確からしい値」は小数点以下１桁目を四捨五入して
　99.9999 → 100
とすべきです。

同様に、100.0001 の「確かさの範囲」が -0.5001 ～ 0.5001 であるならば、「確からしい値」は小数点以下１桁目を四捨五入して
　100.0001 → 100
とすべきです。

つまり、「誤差が ± 0.5 」であれば、「99.9999」も「100.0001」も、「確からしい値」は「100」で同じということです。

要するに、99.9999と100.0001といったときに、その誤差はどの程度か、「確かさの範囲」はどの程度か、ということで「確からしい値」が決まるということです。

＞質問３

「誤り」はありませんが、「結果」の有効数字が「２桁」と分かっているのであれば、10桁も11桁も計算するのは「無駄」なので、途中の計算は「3桁目を最終的に四捨五入するので、4桁程度で計算しておけば十分」と割り切って計算した方がよいでしょうね。
あなたの計算は、「無駄な骨折り」をしているということです。「間違い」ではありませんが、時間と能力をもっと他に使った方が有意義だということです。

yhr2 · Answer

No.2です。「補足」に書かれたことについて。

＞例：0.15のは２桁の有効数字なのはなぜですか？小数点より前が0表記だからですか？

0.15 = 1.5 * 10^(-1) = 15 * 10^(-2)
だからです。

2桁でしょう？

0.000015 も「有効数字2桁」です。

0.000015 = 1.5 * 10^(-5)

ですから。

ナッキーナッキー · Answer

多少、誤解があるようですね。
有効数字は、信頼できる数字を示すというよりは、どこに誤差が入っているかを示すために使います。
例えば、有効数字３桁の場合は、３桁目に誤差が入っているってことですね。
元々は、測定を行うと必ずその数値には誤差が入ってしまう事から来ているんです。

質問２の場合も同様に、「信頼できる上位3桁の有効数字」という事では無く、
有効数字３桁は、３桁目に誤差が含まれる事を表します。
ですから、99･9999と100.0001 が測定値の生データである場合、
３桁目以降に誤差が含まれるとすると、４桁目を四捨五入して、３桁の有効数字にします。
すると、99･9999≒99.99≒100　 　100.0001≒100.0≒100
もちろん、”１００”の最後の”０”には誤差が含まれています。

多分、混乱の原因は、「有効数字」という言葉の使われ方から来ているのだと思います。
一つ目の意味は、上に書いた通りですが、もう一つの意味として、質問者さんが使っている”信頼できる数字”があります。
例えば、15.3mm が測定値だとして、誤差が0.3mm の中に入っている場合、15を信頼できる数字として、有効数字は２桁って使う場合があります。
この用法が間違っていると言うわけではないのですが、どちらの意味で使っているかを区別しないと、質問２のような混乱を引き起こします。
測定値を用いて計算する場合は、上に説明した意味で捉えるべきでしょうね。

ちなみに、質問者さんがやられている計算で「約9.8m/s^2」とありますが、
9.8を有効数字ととらえるならば、”約”は必要ありません・・・0.8に誤差が含まれている事が明示されているからです。
また、２桁に丸めて、2.1*10^2(hpa)とするのは、0.1の所に誤差が入っていて、それより小さな位（桁）の数字は（全く）信用できないからですね。
けっして、2.1が確実に信用できる数値である、という意味ではありませんので、気をつけて下さい。

銀鱗 · Answer

60.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000１kg
と
60kg
の違いってほとんど無視できるよね。

同様に
60.000001kg
と
60kg
の違いもほとんど無視できるよね。
厳密には違うわけなんだけど、限りになく無視できるわけだから
　「一般には違いはないとして考える」
ことにするってこと。

円周率を3とか3.14とか3.1415927とか言うのと同じです。

有効数字について（物理）

＞質問１

No.2です。

多少、誤解があるようですね。

60.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000１kg

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