高校数学、２次不等式の問題です。 『２次不等式x²+2mx+1≧0が0≦x≦2において常に成り立つよ

高校数学、２次不等式の問題です。
『２次不等式x²+2mx+1≧0が0≦x≦2において常に成り立つように、mの値の範囲を求めよ』という問題です。

x²+2mx+1の判別式を考え、
判別式D=4m²-4をD＞0,D=0,D＜0の場合においてmの範囲を求めようと思いましたが、途中でややこしくてわからなくなりました。
このやり方は間違っているのでしょうか？
どのようなやり方で求めたらよいか、過程を教えてください。ちなみに答えはm≧-1です。

No.3 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/01/13 14:09

グラフを使って考えるのが分かりやすいと思います

x²+2mx+1=(x+m)²-m²+1
だから
y=x²+2mx+1とおくと、このグラフの頂点は（-m,-m²+1)
そして考える範囲は画像の通りx=0のラインからx=2のラインまで
また、ｍの値によって頂点の位置は変わるが、そのパターンは3つに分けられます
①頂点が、考える区間（0≦x≦2)より左にある場合
②頂点が、考える区間（0≦x≦2)内にある場合
③頂点が、考える区間（0≦x≦2)より右にある場合
そこで、それぞれについて考えます

①のとき（画像左）　グラフの頂点のx座標がx=0より小さいから、-m<0・・・（１）
このとき、x²+2mx+1≧0が0≦x≦2において常に成り立つ　ということは
グラフが考える範囲内でx軸より高い位置にあればよい
そのためにはx=0のときy≧０であればよい・・・（A)（グラフはx=0の位置が最も低いから）
すなわち0²+2m・0+1≧０
この式はｍの値がどんな物であっても成り立つ
つまり（A)を成り立たせるｍはすべての実数ｍ・・・（２）
（１）（２）の共通範囲を調べてm>0

②のとき(画像中央）　グラフの頂点のx座標が０から２の間にあるから、0≦-m≦2・・・
（３）
このとき、x²+2mx+1≧0が0≦x≦2において常に成り立つ　ということは
グラフが考える範囲内でx軸より高い位置にあればよい
そのためには頂点のy座標が０以上であればよい・・・（B)
すなわち　-m²+1≧０・・・（４）
（３）から-2≦m≦０
（４）からm²-1=(m+1)(m-1)≦０⇔-1≦m≦1
の共通範囲を調べて-1≦m≦０

③のとき（画像右）　グラフの頂点のx座標がx=２より大きいから、2<-m・・・（5）
このとき、x²+2mx+1≧0が0≦x≦2において常に成り立つ　ということは
グラフが考える範囲内でx軸より高い位置にあればよい
そのためにはx=2のときy≧０であればよい・・・（C)（グラフはx=2の位置が最も低いから）
すなわち2²+2m・2+1≧０・・・（６）
(5)からm<-2
(6)からm≧-5/4
の共通範囲はない（５６を同時に満たすｍは無い）から
③のときはx²+2mx+1≧0が0≦x≦2で成り立たない

以上をまとめると（①m>0　②ｰ1≦m≦０　をあわせると）求める範囲は-1≦ｍ
このように考えると良いと思います。
計算ミス等は指摘してください！

（ちなみに、あなたの考えた「判別式で場合分け」は、必要ないという事です）

この回答へのお礼

ご親切にグラフまで書いていただいて、ありがとうございました。

お礼日時：2019/01/13 14:29

No.2 回答者： kuroki55 回答日時： 2019/01/13 06:47

No.1です。

平方完成は下記サイトを参考にしてください。
https://mathtrain.jp/jikutyoten

No.1 回答者： kuroki55 回答日時： 2019/01/13 06:18

過去問に有りました。

参考にしてください。
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …