lim tanx-sinx/x^3 x→0 という問題を写真のように解いたのですが、答えは1/2でし

lim tanx-sinx/x^3
x→0

という問題を写真のように解いたのですが、答えは1/2でした。どこが間違っているのか詳しく教えて頂きたいです！

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/18 17:59

（tan x - sin x)/x^3 = { (tan x)/x }・1/x^2 - { (sin x)/x }・1/x^2

という変形は合っています。間違いは、その先の
{ (tan x)/x }・1/x^2 - { (sin x)/x }・1/x^2 = 1/x^2 - 1/x^2
にあります。そもそも、ここをイコールでつないでいるのがオカシイ。
x→0 のとき (tan x)/x → 1, (sin x)/x → 1 ではあっても、
それは (tan x)/x = 1, (sin x)/x = 1 とは違うことです。

x→0 のとき { (tan x)/x }・1/x^2 - { (sin x)/x }・1/x^2 → 1/x^2 - 1/x^2
とは出来ません。極限の計算でよく使う
lim[x→a] f(x)+g(x) = lim[x→a] f(x) + lim[x→a] g(x) や
lim[x→a] f(x)g(x) = lim[x→a] f(x) ・ lim[x→a] g(x) の根拠は、
--------------------------------------------------------------------------------
lim[x→a] f(x) と lim[x→a] g(x) がどちらも収束するとき、
lim[x→a] f(x)+g(x) と lim[x→a] f(x)g(x) も収束して
lim[x→a] f(x)+g(x) = lim[x→a] f(x) + lim[x→a] g(x),
lim[x→a] f(x)g(x) = lim[x→a] f(x) ・ lim[x→a] g(x) が成り立つ。
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という定理です。
lim[x→a] f(x) と lim[x→a] g(x) が収束するとき「だけ」使えるのです。

今回の計算は、lim[x→0] 1/x^2 が発散するので、
lim[x→0] { (tan x)/x }・1/x^2 - { (sin x)/x }・1/x^2
= lim[x→0] { (tan x)/x }・lim[x→0] 1/x^2 - lim[x→0] { (sin x)/x }・lim[x→0] 1/x^2
= lim[x→0] 1/x^2 - lim[x→0] 1/x^2
とは計算できません。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/06/18 15:05

(tanx/x)・(1/x²)でx→０とするときは

どちらか一方だけをx→０にしてもう一方は後回しということは出来ません！
つまり　(tanx/x)と(1/x²)を同時にx→0にしないといけないので
Limx→０(tanx/x)・(1/x²)＝１・∞＝∞となります
同様に　sinx/x・ｘ^2→∞です
ゆえに
1/x²-1/x²とはならずに∞ー∞となります。ただしこれは極限が確定しない不定形

不定形を解消するには工夫して計算することが必要で
tanx-sinx=(sinx/cosx)-sinx=sinx{(1/cosx)-1}=(sinx/cosx)(1-cosx)
=tanx(1-cosx)
=tanx(1-cosx)(1+cosx)/(1+cosx)
=tanx(1-cos²x)/(1+cosx)=tanxsin²x/(1+cosx)より
Lim （tanx-sinx）/x³=Lim (tanx/x)(sinx/x)²{1/(1+cosx)}=1・１²{1/(1+1)}=1/2などとして求めます