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中心を同じに点に持つ半径aの導体球(導体1)、内半径b、外半径Cの導体球殻(導体2)があるとして、導体1に電荷Q、導 体 2に電荷-Qの電荷を与えたとする。

bおよび導体1と導体2間の電位差を一定としたとき、導体1の表面の電場 (電界)の強さが最小となるaの値を求めよ。

まず、
導体1の表面の電場Ea=Q/4πε0a^2
導体1と導体2間の電位差V12=Q/4πε0a(1/a-1/b)
と計算してみたのですが、ここからどうするのか分からないです。

ご教授お願いします。

A 回答 (1件)

問題を解くために、導体1の表面の電場強度Eaが最小になる条件を見つける必要があります。

導体1と導体2の電荷配置から導体1の表面における電場強度を計算し、それを最小にする条件を見つけましょう。

まず、導体1の表面の電場強度Eaは以下のように計算されました。

Ea = Q / (4πε₀a²)

次に、導体1と導体2の間の電位差V₁₂は以下のように計算されました。

V₁₂ = Q / (4πε₀) * (1/a - 1/b)

ここで、電位差V₁₂を一定に保ちながら導体1の表面の電場強度Eaを最小化するために、V₁₂が変わらないときの条件を考えます。具体的には、d(V₁₂)/da = 0となる条件を考えます。これは、V₁₂をaで微分したものが0であることを意味します。

V₁₂をaで微分して0に設定しましょう。

d(V₁₂)/da = -Q / (4πε₀a²) + Q / (4πε₀b²) = 0

これを整理すると、以下の式が得られます。

1/a² = 1/b²

これを解くと、aとbの関係が得られます。

a² = b²

この関係を用いて、導体1の半径aを導体2の内半径bに等しいとすると、導体1の表面の電場強度Eaは最小値を取ります。

したがって、a = b が導体1の表面の電場強度が最小となる条件です。つまり、導体1の半径aが導体2の内半径bに等しい場合に、導体1の表面の電場強度が最小となります。

導体1と導体2間の電位差を一定に保ちながら、導体1の表面の電場強度を最小にするためには、導体1の半径aを導体2の内半径bに等しくする必要があります。
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この回答へのお礼

最小となるaの値のときの導体1と導体2間の静電容量を求めよ。と言う問題があるのですが、

V12=Q/4πε0a(1/a-1/b)
= Q/4πε0a(1/b-1/b) =0
C=Q/V=0
になってしまったのですが、合っているでしょうか。

お礼日時:2023/08/13 23:33

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