tを媒介変数にして積分してlog1-i-a/-1-i-aとかみたいなのの和になるだけで2πiにならないんですけどならなくていいんですか?
https://imgur.com/a/wBaXeoT
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
> 複素数での log は 2nπ 分の不定さがある多価関数だから
> そういう実数関数みたいな積分は急にしちゃだめだよ?
そのとおり。不定さは、2nπ じゃなく 2nπi (nは整数) だけどね。
多価関数は「関数」じゃないから、複素 log を一価正則な
普通の関数として扱うためには、「枝の選択」が必要になる。
多価である複素 log 値を各点でひとつづつ、各近傍で連続になるように
選択して繋いでゆくと、特異点 0 を除く複素数平面全体へ接続する
ことはできなくて、どうしても、0 と無限遠を結ぶ半閉半開の曲線上では
不連続になってしまう。そうやって枝選択した複素 log は、
その曲線上では不連続、それ以外の点では正則となる。
境界となる曲線は、かなり自由に定めることができるが、
実軸正部分とか実軸負部分とかに置くのが通常ではある。
今回の計算では、境界の曲線を、I の積分路となる正方形のどれかの頂点
を通るように設定すると扱い易い。例えば、原点から S1 と S4 の交点である
1-i を通って無限遠へ向かう半直線を境界とするような複素 log の枝を、
以下では LOG と書くことにしよう。
S1 での LOG(1-i) と S4 での LOG(1-i) は
留数定理により (2πi)∮[S] dz/(x-α) だけ値が違い、
lim[z→(1-i) via S4] LOG(z) = lim[z→(1-i) via S1] LOG(z) + 2πi となる。
I = I1 + I2 + I3 + I4 という式を考えるとき、
I1 の積分下端から出る LOG(1-i) と
I4 の積分上端から出る LOG(1-i) の間にこの式の関係があることから、
LOG(1+i), LOG(-1+i), LOG(-1-i), LOG(-1-i) が相殺した後に
I = 2πi が残ることになる。
No.5
- 回答日時:
あ、違った。
訂正:
I1 = ∫[S1] 1/(z-α) dz
= ∫[-1,1] 1/{ (1+ti)-(a+bi) } (i dt)
= ∫[-1,1] 1/{ (t-b)-(1-a)i } dt
= ∫[-1-b,1-b] 1/{ u-ci } du ; この行を間違ってた
= ∫[-1-b,1-b] (u+ci)/{ (u-ci)(u+ci) } du
= ∫[-1-b,1-b] u/(u^2+c^2) du
+ ∫[-1-b,1-b] ci/(u^2+c^2) du
= (1/2) ∫[(-1-b)/c,(1-b)/c] 2w/(1+w^2) dw
+ i ∫[(-1-b)/c,(1-b)/c] 1/(1+w^2) dw.
No.4
- 回答日時:
全く別のアプローチとして、S1, S2, S3, S4 上の各積分を
実二次平面上での線積分と見て、実積分の話に帰着してしまう
という方法もある。
例えば、I1 = ∫[S1] 1/(z-α) dz
= ∫[-1,1] 1/{ (1+ti)-(a+bi) } (i dt) ; z=1+ti
= ∫[-1,1] 1/{ (t-b)-(1-a)i } dt
= ∫[-1-b,1-b] 1/{ c-ui } du ; t-b=u, 1-a=c
= ∫[-1-b,1-b] (c+ui)/{ (c-ui)(c+ui) } du
= ∫[-1-b,1-b] c/(c^2+u^2) du
+ (i/2) ∫[-1-b,1-b] 2u/(c^2+u^2) du
= ∫[(-1-b)/c,(1-b)/c] 1/(1+w^2) dw ; cu=w
+ (i/2) ∫[(-1-b)/c,(1-b)/c] 2w/(1+w^2) dw.
最下行に現れる積分は、どちらも実関数を実区間で積分している。
I2, I3, I4 も同様に計算すると、I = I1 + I2 + I3 + I4 の右辺から
∫2w/(1+w^2) dw = log(1+w^2) に由来する項は相殺されて、
∫1/(1+w^2) dw = arctan w に由来する項だけが残ることになる。
式を整理すると、 I = 2πi になる。
No.2
- 回答日時:
α=0のとき
z=re^(it)
とすると
dz=(ir)e^(it)dt
1/z=(1/r)e^(-it)
だから
I1
=∫[S1](1/z)dz
=i∫[-π/4~π/4]dt
=iπ/2
I2
=∫[S2](1/z)dz
=i∫[π/4~3π/4]dt
=iπ/2
I3
=∫[S3](1/z)dz
=i∫[3π/4~5π/4]dt
=iπ/2
I4
=∫[S4](1/z)dz
=i∫[5π/4~7π/4]dt
=iπ/2
I1+I2+I3+I4=iπ/2+iπ/2+iπ/2+iπ/2=2πi
No.1
- 回答日時:
α=0のとき
1-i=(√2)e^(-iπ/4)
1+i=(√2)e^(iπ/4)
だから
log(1-i)=log(√2)-iπ/4
log(1+i)=log(√2)+iπ/4
だから
I1=log(1+i)-log(1-i)=iπ/2
1+i=(√2)e^(iπ/4)
i-1=(√2)e^(i3π/4)
だから
log(1+i)=log(√2)+iπ/4
log(i-1)=log(√2)+i3π/4
だから
I2=log(i-1)-log(1+i)=iπ/2
i-1=(√2)e^(i3π/4)
-1-i=(√2)e^(i5π/4)
だから
log(i-1)=log(√2)+i3π/4
log(-1-i)=log(√2)+i5π/4
だから
I3=log(-1-i)-log(i-1)=iπ/2
-1-i=(√2)e^(i5π/4)
1-i=(√2)e^(i7π/4)
だから
log(-1-i)=log(√2)+i5π/4
log(1-i)=log(√2)+i7π/4
だから
I4=log(1-i)-log(-1-1)=iπ/2
I1+I2+I3+I4=iπ/2+iπ/2+iπ/2+iπ/2=2πi
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