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インテグラルlog(x+3)dxの計算方法教えてください!

A 回答 (3件)

∫log(x+3)dx ですね。


log(x+3) を (x’)log(x+3) と見て部分積分すればよいです。
∫log(x+3)dx = ∫(x’)log(x+3)dx = x log(x+3) - ∫x/(x+3) dx です。
∫x/(x+3) dx = ∫{1 - 3/(x+3)}dx = x - 3 log(x+3) + (定数) より
∫log(x+3)dx = x log(x+3) - x + 3 log(x+3) + (定数) となります。

最初に x+3 = y で置換すると、少しやりやすいかもしれません。
∫log(x+3)dx = ∫log(y)dy = y log(y) - ∫(y/y)dy = y log(y) - y + (定数)
= (x+3)log(x+3) - x - 3 + (定数).
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部分積分より


(x+3)log(x+3)-x+C(Cは積分定数)と瞬殺です
ちなみに1をx+3の微分とみてうまく使いました
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https://mathtrain.jp/logintegral

より、部分積分から、(x+3)log(x+3)ーx+C
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Qこの問題どうやって解くのですか?頭悪いので丁寧な解説してもらえるとうれしいです!

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(f・g)'=f 'g+fg' ∴f 'g=(f・g)' ーfg' より∫ f ' g=f・gー∫ fg ' から
f=(xー3) ,g=log(xー3) ,f '=1 ,g'=1/(xー3)
∫ (xー3)' log(xー3)dx=(xー3)log(xー3)ー∫ (xー3)/(xー3)dx
=(xー3)log(xー3)ーx+積分定数(C)

Q答えは、1/4 らしいのですが、何故ですか?

答えは、1/4 らしいのですが、何故ですか?

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lim[h→0](ln(4+h)-ln(4))/h
=lim[h→0](1/h) ln((4+h)/4)
=lim[h→0](1/h) ln(1+(h/4))
=lim[h→0] ln(1+(h/4))^(1/h)
=lim[h→0] ln(1+(h/4))^((4/h)(1/4))
=lim[h→0] ln((1+(h/4))^(4/h))^(1/4)

t=h/4とすると、h→0はt→0に置き換えられる。

=lim[t→0] ln((1+t)^(1/t))^(1/4)
=ln(e)^(1/4) ※eは自然対数の底(またはネイピア数)
=(1/4)ln(e)
=1/4

Q数学についてです。 写真の問題の解説をしてください。 よろしくお願いします。

数学についてです。
写真の問題の解説をしてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

r = 2t + r0, 10 = 2t1 + r0 (r0は定数) のとき、
V = (4/3)πr^3, S = 4πr^2 に対する
dV/dt[t = t1], dS/dt[t = t1] を求めよ。

dV/dt = (4πr^2)(dr/dt), dS/dt = (8πr)(dr/dt),
dr/dt = 2.
r = 10 のときの値は、
dV/dt[t = t1] = (4π10^2)(2) = 800π [cm^3/s],
dS/dt[t = t1] = (8π10)(2) = 160π [cm^2/s].

Qどなたか消してしまったので、ここの部分教えて下さいませんか。 本当に申し訳ありません

どなたか消してしまったので、ここの部分教えて下さいませんか。
本当に申し訳ありません

Aベストアンサー

(確率)=(条件に合う回数)÷ (全体の回数) で表します。
サイコロは、1回につき 1 から 6 まで 6 通りの出方があります。
3回投げるのですから、ぜんぶで 6x6x6=216 通りの出方があります。

1又は2が出るのは、1回につき 6通りの内の2通り、つまり 2/6=1/3 ・・・① 。
1又は2が出ないのは、同じように考えて、4/6=2/3 ・・・② 。

X=0 は ② だけが 3回ですから (2/3)x(2/3)x(2/3)=8/27 。
X=1 は ① が1回で②が2回で、(1/3)x(2/3)x(2/3)=4/27 で、
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Q因数分解

a^2+b^2-2ab,a^3+b^3+c^3-3abcは因数分解できますが
a^4+b^4+c^4+d^4-4abcdは因数分解できますか?(実数の範囲で)

Aベストアンサー

そうなんです.

なんなら d=0 として変数を 1個減らしてすら因数分解できない.

さすがに c=d=0 とすると因数分解できるけど.

Q2問ともわからないので教えて欲しいです。 解答の過程もおねがいします。

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Aベストアンサー

(2)
f(x)=sinx+∫_{0~π/6}f(t)costdt
c=∫_{0~π/6}f(t)costdt…(2.1)
とすると
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だから
f(t)=sint+c
↓これを(2.1)に代入すると
c=∫_{0~π/6}(sint+c)costdt
c=∫_{0~π/6}(sintcost+c*cost)dt
c=∫_{0~π/6}(sin(2t)/2+c*cost)dt
c=[-cos(2t)/4+c*sint]_{0~π/6}
c=(1/8)+(c/2)
↓両辺からc/2を引くと
c/2=1/8
↓両辺に2をかけると
c=1/4
↓これを(2.1)に代入すると

f(x)=(sinx)+(1/4)

(3)
f(x)=x+∫_{0~1}f(t)e^(-t)dt
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とすると
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だから
f(t)=t+c
↓これを(3.1)に代入すると
c=∫_{0~1}(t+c)e^(-t)dt
c=[-(t+c)e^(-t)]_{0~1}+∫_{0~1}e^(-t)dt
c=c-(1+c)e^(-1)+[-e^(-t)]_{0~1}
c=c-(1+c)e^(-1)+1-e^(-1)
c=c+1-(2+c)e^(-1)
↓両辺からcを引くと
0=1-(2+c)e^(-1)
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だから
f(t)=sint+c
↓これを(2.1)に代入すると
c=∫_{0~π/6}(sint+c)costdt
c=∫_{0~π/6}(sintcost+c*cost)dt
c=∫_{0~π/6}(sin(2t)/2+c*cost)dt
c=[-cos(2t)/4+c*sint]_{0~π/6}
c=(1/8)+(c/2)
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c/2=1/8
↓両辺に2をかけると
c=1/4
↓これを(2.1)に代入すると

f(x)=(sinx)+(1/4)

(3)
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↓こ...続きを読む

Q画像の微分の式を幾何学的な図に表せないでしょうか?

画像の微分の式を幾何学的な図に表せないでしょうか?

Aベストアンサー

理由2つほど
1. g'(x)を図で表せないから
2 3つの関数f(x),g(x),h(x)と書くの面等だからそれぞれf,g,hとかきます。
 (g/f)=h…①とおいて(g/f)'を求めることは、h'を求めればいい。①は
 ゲーム感覚で
  g=hfだから、両辺を微分して。
  g'=h'f+hf' よりh'は
  h'=(g'-hf')/f  h=(g/f)を代入して整理すれば
  h'=(fg'+gf')/f^2 で図などいらない。

Q右の図のように、円の周上に頂点をもつ三角形ABCがある。また、角Aの二等分線がBCと交わる点をD、円

右の図のように、円の周上に頂点をもつ三角形ABCがある。また、角Aの二等分線がBCと交わる点をD、円と交わる点をEとする。AB=5、Ac=4、AD:DE 2:3のとき、次の各問いに答えよ。
(1)OAD=2xとして、xの値を求めよ。
(2) BCの長さを求めよ。高校受験のための問題です。教えてくれると嬉しいです。答えは
(1)√2
(2)(9√15)/5

Aベストアンサー

https://mathtrain.jp/naisetsuquad
より、円の内接四角形の性質より
5・4 : x^2=2:3 ∴x=√30

△ADC相似△BED ,△ABD相似△CEDより
AD:ED=2L:3L ,BD:CD=4k:5k とすれば

2L:4k:5=5k:3L:√30
4k:2L:4=3L:5k:√30
及び
(2L)^2=5・4ー5k・4k=20(1ーk^2) ∴L^2=5(1ーk^2)
よって、
2L:5=5k:√30
4k:5=3L:√30
2L:4k=5k:3L
∴ 20k^2=6L^2
∴6L^2=30(1ーk^2)=20k^2 ∴k=√(3/5) ∴BC=(9√15)/5
L^2=5(1ーk^2)=5(1ー3/5)=2 ∴L=x=√2

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Q数学についてです。 写真の問題の解説をしてください。 よろしくお願いします。

数学についてです。
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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

実際に計算してみましたか?
A(a, a^2), B((a+1), (a+1)^2) とするとΔABCの外心のの座標K(X, Y)は、線分OA, 線分OBの各垂直二等分線の交点です。
少々複雑ですが計算すると、
X=(-a/2)(a+1)(2a+1), Y=(1/2)(3a^2+3a+2).
を得ました(計算ミスの可能性もあり)。
lim[a→0] X, lim Y を計算してください。
------------------
※ K(0, 1), 半径1の円。

Q数学 高1 二次関数 数学の問題でわからないものがあったので、解説お願いします。問題と解答を載せてお

数学 高1 二次関数

数学の問題でわからないものがあったので、解説お願いします。問題と解答を載せておきます。

➀ f(x)= ax^2+bx−5が、f(3)=4、f(4)=3を満たす。このとき、定数a、bの値を求めよ。

答え…a=−1、b=6

➁次の放物線の座標を、定数pを用いて表せ。
y=−2x^2−6px−p^2

答え…(−3p/2、7p^2/2)

➂放物線y=x^2−2xと放物線y=−2x^2+ax+bが同じ頂点をもつとき、定数a、bの値を求めよ。

答え…a=4、b=−3

➃放物線y=x^2+2x+2をx軸方向に−1、y軸方向に2だけ平行移動した放物線がy= ax^2+bx+cとなるとき、定数a、b、cの値を求めよ。

答え…a=1、b=4、c=7

➄次の二次関数のグラフをx軸方向に−2、y軸方向に1だけ平行移動した放物線をグラフとする二次関数を求めよ。
y=−x^2+4x

答え…y=−x^2+5

回答お願いします。

Aベストアンサー


f(3)とはxに3を代入すると言うことだから

f(3)=a×3²+b×3-5=4
f(4)=a×4²+b×4-5=3

書き直して

9a+3b-5=4
16a+4b-5=3
この連立方程式を解きます。


平方完成します。下記サイトを参考にしてください。
(x座標の符号に注意してください。)
https://mathtrain.jp/jikutyoten

y=-2x²-6px-p²=-2(x+3p/2)²-(-2)(3p/2)²-p²=2(x+3p/2)²+7p²/2


この問題も平方完成します。

y=x²-2x=(x-1)²-1

y=-2x²+ax+b=-2(x-a/4)²-a²/16+b

上の2式を比較して

-1=-a/4 →a=4
-1=-a²/16+b
この連立方程式を解くのですが、問題を書き写し間違いしてませんか。
y=x²-2x-3なら
=(x-1)²-4

-4=-a²/16+b →b=-3


グラフの移動方法は
x軸方向にx'だけ移動するときは、x→x-x'とします
x軸方向にy'だけ移動するときは、y→y-y'とします
従って

y=x²+2x+2を問題の通り移動すると

(y-2)={x-(-1)}²+2{x-(-1)}+2
整理して
y=x²+4x+7
あとは係数を比較します。


④と同じ考え方です。
移動すると

(y-1)=-{x-(-2)}²+4{x-(-2)}
あとは整理します。


f(3)とはxに3を代入すると言うことだから

f(3)=a×3²+b×3-5=4
f(4)=a×4²+b×4-5=3

書き直して

9a+3b-5=4
16a+4b-5=3
この連立方程式を解きます。


平方完成します。下記サイトを参考にしてください。
(x座標の符号に注意してください。)
https://mathtrain.jp/jikutyoten

y=-2x²-6px-p²=-2(x+3p/2)²-(-2)(3p/2)²-p²=2(x+3p/2)²+7p²/2


この問題も平方完成します。

y=x²-2x=(x-1)²-1

y=-2x²+ax+b=-2(x-a/4)²-a²/16+b

上の2式を比較して

-1=-a/4 →a=4
-1=-a²/16+b
この連立方程式を解くのですが、問題...続きを読む


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