(x-4)(4x+3)/(x-4)=19の解を求める問題について。

超初歩的な数学の質問で失礼します。
(x-4)(4x+3)/(x-4)=19
とした時、xの解を求めよ、という問題です。

ここで、x=4は分母に(x-4)があるのでゼロ除算となり、xの解は存在しないのですが、(x-4)で約分した際はx=4という答えが出てきます。
また同様に，(x-4)を両辺に掛けた際、x=4という解が存在することになります。

ここで質問なのですが、
①(x-4)で割っていい時
②(x-4)で掛けて良い時
とはどのような時ですか？

①(x-4)で割って良い時

極限として、lim[x→4]とした際は約分し極限値を求めることが出来ますが、極限でない場合に割ってはいけない理由は、
x=4が定義外だからですか？
その場合、極限で割っていい(約分していい)のはx=4に近づけているだけであって、xの定義域内に丸め込むことが出来ているから、という認識で合っていますか？

②(x-4)で掛けて良い時

関数的に見れば、
(x-4)(4x+3)=19(x-4)
の場合は二次関数と一次関数の交点として見ることが出来ますけれど、
(x-4)(4x+3)/(x-4)=19
の場合は，x=4で連続でない直線とy=19というグラフの交点を求めることになります。

したがって、関数に変化が生じます。両辺に(x-4)をかければ、解としてx=4が出ます。
このような場合は(x-4)でそもそも掛けて良いのか、という疑問すら生じます。
定義域が掛ける前と掛けた後で異なってしまうので、掛けること自体が誤りなのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• ええと、つまりどういうことですか？
  途中式はどうなりますか？
  (x-4)(4x+3)=19(x-4)
  これを展開すると、
  4x^2-13x-12=19x-76
  両辺を19x-76で引くと
  4x^2-32x+64=0
  4(x^2-8x+16)=0
  4(x-4)^2=0
  つまりx=4にはならないのですか？
  x=4という解が導出不可なのは何故ですか？

  
  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/03/12 23:25

• ええと、それは分母が(x-4)ではなく、xのみであった時の話ではないのですか？
  分母が4になる時に話ではなく、xが4であった時の話です。
  x=4を代入すれば、(x-4)は(4-4)になり、0になりますよね。
  つまり、
  (x-4)(4x+3)/(x-4)=19
  で与えた式が、0×19/0=19
  となり、0×19=0ですから、
  0/0の不定形となり、ゼロ除算になりますよね...？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/03/12 23:31

• 解が導出出来ないというのは何故ですか？
  途中式はどうなっておりますか？
  (x-4)(4x+3)/(x-4)=19
  
  両辺に(x-4)を掛けると、
  (x-4)(4x+3)＝19(x-4)
  
  ここで、式を展開すると、
  4x^2-13x-12=19x-76
  
  したがって、
  4x^2-32x+64=0
  4(x^2-8x+16)=0
  4(x-4)^2=0
  
  となるので、x=4の時、等号は成立しないのですか？

  
  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/03/12 23:38

• あ、なるほど。
  x=4を代入した状態だと思ってました。あくまで仮にそういう式があった場合、というケースの話ですね。
  分母の(x-4)があったとしても、それは分子の(x-4)と同値なのだから、0/0となっても1になるのだから割って良いよね、ってことですかね！
  仮にそうだとすると、①の割っても良い場合は、分母と分子にいずれも同じ項を含む式がある場合、となりそうですね。
  確かにこの場合、x=4が解になりそうですね。
  ...だとすると、定義域がx≠4であることと、解が存在しないのは何故ですか？
  
  関数における連続性はどうなりますか？

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/03/13 00:36

• ええと、計算した結果、x=4になるため、結局ゼロ除算ですよね？？？
  私は、①の(x-4)で約分しても良い場合、②の(x-4)で掛けて良い場合の話をお聞きしてります。
  お答えいただくのはありがたいですが、結局のところ"理由"が分かりません。
  具体的に言語化していただけないでしょうか...？
  
  Wolframでも同じく計算をしました。
  画像を添付しておきます。解は存在しません、となります。
  
  ここで、質問を変えます。ならば何故解は存在しないのですか？

  
  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/03/13 12:00

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/03/14 10:22

① (x-4) で割っていいのは、x-4≠0 のときです。

A=B ⇒ A/C=B/C が成り立つのは、C≠0 のときだけだからです。
lim[x→4] については、lim の正式な定義を学ばないと、
高校流の「近づけば近づく」では解りにくいかもしれません。
x を 4 に近づけるだけで、ちょうど x=4 にはしないのが lim[x→4] だ
くらいに覚えておきましょう。

② (x-4) を掛けてよいのは、常にです。いつでも掛けてよい。
A=B ⇒ AC=BC は、C の値が何であっても成り立ちます。
ただし、方程式を解こうというときには、 ⇒ ではなく ⇔ であることを
期待することも多いものです。(⇒ で考察して解の候補を絞り、
後から解を吟味してもよいんですけどね。)
同値変形がしたいなら、① のときと同様に x-4≠0 でなくてはなりません。
A=B ⇒ AC=BC は常に成り立ちますが、
AC=BC ⇒ A=B には C≠0 が必要だからです。

(x-4)(4x+3)/(x-4)=19 については、x-4≠0 を確保するために場合分けして...
x-4≠0 の場合：
　左辺を約分して 4x+3=19 より x=(19-3)/4=4.
　x-4≠0 かつ x=4 となる x は存在しない。
x-4=0 の場合：
　仮定より x=4 となるが、これは与式左辺に代入することができない。
　よって、x-4=0 の場合に与式は成立しない。
以上より、解なし。

両辺に (x-4) は常に掛けてよいという立場を取るなら...
(x-4)(4x+3)/(x-4)=19 の両辺に (x-4) を掛けて、(x-4)(4x+3)=19(x-4) より
0=(x-4)(4x+3)-19(x-4)=(x-4)(4x+3-19)=(x-4)(4x-16)=4(x-4)^2.
この式を満たす x は x=4 のみである。これが解の候補になるが、
x=4 は与式左辺へ代入することができない。よって解なし。

No.5 回答者： kacchann 回答日時： 2024/03/14 01:27

「(x-4)(4x+3)/(x-4)=19･･･(a)

とした時、xの解を求めよ」
という問題があったとき、
((a)の左辺の分母に(x-4)が登場してるので、)
この時点で「x≠4」です。

>①(x-4)で割っていい時
>②(x-4)で掛けて良い時
>とはどのような時ですか？

式変形のさい、
「同値性をくずさずに」式変形したければ、
両辺をx-4でわったりかけたりしていいのは、
x-4≠0のときです。

No.4 回答者： 銀鱗 回答日時： 2024/03/13 00:31

(x-4)(4x+3)/(x-4)=19

　　　　　↓
(4x+3)(x-4)/(x-4)=19
　　　　　↓
(4x+3) × (x-4) ÷ (x-4) = 19

さあ、計算してみろ。

No.3 回答者： 銀鱗 回答日時： 2024/03/13 00:26

いや、だから実際に計算してみなよ。

分かりやすく式を書き直してみようか？
　(4×3)/4
　　↓
　(4×3)/4＝
いくつになるよ？

質問者さんの考え方では
　(0×3)/0＝
になるって事だよね？
でも違うだろ。

No.2 回答者： e12mv2 回答日時： 2024/03/12 20:54

両辺に（ｘ－４）をかければ与式は

(x-4)(4x+3)＝19(x-4)
となる。
ｘ＝４という解は導出できない。

No.1 回答者： 銀鱗 回答日時： 2024/03/12 12:12

＞x=4は分母に(x-4)があるのでゼロ除算となり、

　('ω') 「0」じゃなくて「1」になるんだなぁ。

　(4×3)/4
これ計算してみなよ。
質問者さんが勘違いしていることが明らかになると思います。