10のn乗-1でn=1から15,はなぜ17の倍数でないのでしょうか。問題文に書いてある理由がよくわか

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質問者：初心者数学er
質問日時：2024/10/24 00:11
回答数：11件

10のn乗-1でn=1から15,はなぜ17の倍数でないのでしょうか。問題文に書いてある理由がよくわかりません。

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つらい・・・

No.11

回答者：胸が大きいのが悩みなの。乳首は桜色だし。
回答日時：2024/10/25 21:17

そうです。

それがこの【解答】の最初4行に書いてあることです。

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これはどう？

No.10

回答者：胸が大きいのが悩みなの。乳首は桜色だし。
回答日時：2024/10/25 18:43

そうです。

10^n×1/17 - 1/17 は整数なので、10^n×1/17と1/17の小数部分は等しい。
当たり前ですよね。

では次に、10^n×1/17は1/17を小数で表示したものの小数点を右にn動かしたものだということは分かりますか？
例えば1/3=0.3333…
10^2×1/3=33.33…
のように10のべき乗をかけると小数点が右に動きますよね？分かる？

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この回答へのお礼

わかります。てことは10の15乗までは引き算したときに少数部分が残るから割りきれないってことですか

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お礼日時：2024/10/25 19:02

ドンマイ

No.9

回答者：胸が大きいのが悩みなの。乳首は桜色だし。
回答日時：2024/10/25 15:02

ピントのボケた回答しかつきませんね。

気の毒ですので回答しますが、1/17が小数点以下16位までが循環することは分かっているものとします。
10^n-1が17の倍数のとき、(10^n-1)/17は整数ですから、
10^n×1/17と1/17の小数点以下は等しい、ということは分かりますか？

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この回答へのお礼

整数になるからってことですか？

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お礼日時：2024/10/25 18:28

参考程度に

No.8

回答者： syotao
回答日時：2024/10/25 15:00

10≡-7（mod17）10²≡49≡-2、10⁴＝(10²)²≡4

10⁸＝(10⁴)²≡16≡-1、10¹⁶≡(10⁸)²≡1（以上いずれもmod17）だから
10¹⁶-1はたしかに17でわりきれる。
ところで、10^n-1が17で割り切れる条件
つまり10^n≡1（mod17）となるような最小のｎ＞0をｋとすれば
ｋはｎの約数でなければならぬ、だからこの問題の場合ｋは16の約数
になるが最初でみたように、ｎが16以外の16の約数ｎについては
10^n≡1（mod17）とはならない、したがってｋ＝16
ゆえに1～15のｎについては10^n-1が17で割り切れない、
となります。

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No.7

回答者：ありものがたり
回答日時：2024/10/24 21:49

循環小数を分数で書き換える方法は、算数で習います。

n 桁の節 r を持つ循環小数 x は x = ｒ/(10^n - 1) と書けるのです。
写真の「解答」でも、そうやっていますね？
この式は、小学生は暗記するだけですが、高校生の立場では
初項ｒ/10^n 公比 1/10^n の等比級数の和が x になること
から導かれます。

もし、 16 より小さい n に対して 10^n - 1 が 17 で割り切れてしまったら、
10^n - 1 = 17 q (ｑは整数) と掛けることになります。
1/17 = q/(10^n - 1) ですから、 1/17 は長さ n の循環節を持つことになります。

1/17 が 16 桁の循環節 588235294117647 を持つことを
既に知っているという立場で話をするのであれば、
n が 16 の倍数であることは知っているわけです。

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No.6

回答者： cage64
回答日時：2024/10/24 16:58

10^n-1が17で割り切れる、ということは、

10^nを17で割ると1余る、ということです。
仮にn=5 としてみると
100000=17*(商)+1
ということですから、これを筆算の形にすれば
　　(商)
17)100000
(途中略)
------------
　　　　1
となるわけです。つまりここで1/17の計算の最初の1と同じ余り１が出てきたので、ここから先は循環するわけです。
なお、解答にあるn=16の場合の、1/17=... の分子が上に書いてある(商)に相当します(1/17=(商)/(10^16-1)とは、17*(商)=10^16-1 ということ）。

別の言い方をすれば、n=15までは、筆算で割り算した時の余りが１にならない（なればそこから循環している）、といっているだけです。