教えてください.（ ）に入るものは何か. 1. f（x）＝2/（1−x^2）の部分分数分解は、（ ）

教えてください.（　）に入るものは何か.
1.
f（x）＝2/（1−x^2）の部分分数分解は、（　）/（1+x）+（　）/（1−x）より、f（x）の不定積分は、
∫2/（1−x^2）dx ＝（　）+C

2.
f（x）＝（x +1）/（x−1）（x^2+1）の部分分数分解は
（　）/x−1+（　）/x^2+1より、f（x）の不定積分は、
∫（x+1）/（x−1）（x^2+1）dx ＝　（　）+C

不定積分の途中式を教えてください.
1.I＝∫dx/sinx dx
答えは、I＝logⅠtan x/2Ⅰ+Cです.

2.I＝∫dx/（sin^2x cos^2x）
（t＝tan xとおく.sinx cosx ＝ t/（1+t^2）,dx ＝ 1/（1+t^2 dt）
答えは、t＝tanxとおく.
I＝tanx−1/tanx+C

よろしくお願いします

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2024/11/15 00:56

1-1. f(x) = 2/(1 - x^2) の部分分数分解は、

　2/[(1 + x)(1 - x)] = a/(1 + x) + b/(1 - x)
とおけば
　右辺 = [a(1 - x) + b(1 + x)]/[(1 + x)(1 - x)]
　　　= [a + b + (b - a)x]/[(1 + x)(1 - x)]
より
　a + b = 2
　b - a = 0
より
　a = 1, b = 1
よって
　f(x) = 1/(1 + x) + 1/(1 - x)

これを使って、f(x) の不定積分は
　∫[2/(1 - x^2)]dx = ∫[1/(1 + x) + 1/(1 - x)]dx
= ∫[1/(1 + x)]dx + ∫[1/(1 - x)]dx
= log(1 + x) - log(1 - x) + C
= log[(1 + x)/(1 - x)] + C

1-2. f(x) = (x + 1)/(x - 1)(x^2 + 1) の部分分数分解は
　(x + 1)/(x - 1)(x^2 + 1) = A/(x - 1) + (Bx + C)/(x^2 + 1)
とおけば
　右辺 = [A(x^2 + 1) + (Bx + C)(x - 1)]/(x - 1)(x^2 + 1)
　　　= [(A + B)x^2 + (C - B)x + 1 - C]/(x - 1)(x^2 + 1)
なので
　A + B = 0, C - B =1, 1 - C = 1
これより
　C = 0
　B = -1
　A = 1
よって
　(x + 1)/(x - 1)(x^2 + 1) = 1/(x - 1) - x/(x^2 + 1)

これを使って、f(x) の不定積分は
　∫[(x + 1)/(x - 1)(x^2 + 1)]dx
= ∫[1/(x - 1) - x/(x^2 + 1)]dx
= ∫[1/(x - 1)]dx - ∫[x/(x^2 + 1)]dx
= log(x - 1) - (1/2)log(x^2 + 1) + C
= log[(1 + x)/√(x^2 + 1)] + C


２-1. dx が2つあるけど
I＝∫[1/sin(x)]dx
なんだろうな。

被積分関数の分母・分子に sin(x) をかけて
　I = ∫[sin(x)/sin^2(x)]dx
　 = ∫[sin(x)/(1 - cos^2(x))]dx

ここで
　u = cos(x)
とおくと
　du/dx = -sin(x)
なので
　sin(x)dx = -du
よって
　I = -∫[1/(1 - u^2)]du
上の 1-1 の結果を使って
　I = -∫[1/(1 - u^2)]du
　　= -(1/2)log|(1 + u)/(1 - u)| + C
　　= (1/2)log|(1 - u)/(1 + u)| + C
　　= (1/2)log[|1 - cos(x))/(1 + cos(x))| + C

ふつうはこれが解になるでしょう。

お示しの解は、これに倍角の公式
cos(x) = cos^2(x/2) - sin^2(x/2)
　　　　= 2cos^2(x/2) - 1
　　　　= 1 - 2sin^2(x/2)
を使って
　I = (1/2)log[2sin^2(x/2)/2cos^2(x/2)] + C
　　= (1/2)log[tan^2(x/2)] + C
　　= log|tan(x/2)| + C
としたものでしょう。


2-2. I = ∫[1/(sin^2(x)･cos^2(x)]dx

1/[(sin^2(x)･cos^2(x)]
= 1/{(sin^2(x)･(1 - sin^2(x)]}

ここで、部分分数分解すると
　1/{(sin^2(x)･(1 - sin^2(x)]} = 1/sin^2(x) + 1/[1 - sin^2(x)]
= 1/sin^2(x) + 1/cos^2(x)
なので

　I = ∫[1/sin^2(x)]dx + ∫[1/cos^2(x)]dx

ここで t = tan(x) とおけば
　dt/dx = 1/cos^2(x) = 1 + tan^2(x) = 1 + t^2
なので
　dx = [1/(1 + t^2)]dt
一方、上の cos^2(x) と t の関係から
　1/cos^2(x) = 1 + t^2
　sin^2(x) = 1 - cos^2(x) = 1 - 1/(1 + t^2) = t^2 /(1 + t^2)
　　→1/sin^2(x) = (1 + t^2)/t^2
なので

　I = ∫[(1 + t^2)/t^2][1/(1 + t^2)]dt + ∫(1 + t^2)[1/(1 + t^2)]dt
　　= ∫[1/t^2]dt + ∫dt
　　= -(1/t) + t + C
　　= -1/tan(x) + tan(x) + C

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2024/11/12 19:17

＞（　）/（1+x）+（　）/（1−x）より、

何が分からないの？
( ) を a, b と置いて 通分したら 答えが出ます。
と云うより 暗算ベースですよね。
f(x)+g(x) の積分は それぞれの積分の和ですよね。