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2平面の交線の方程式はどうやって求めるのですか?

例で適当に問題を作ってみたんで教えてください
x-y+3z-1=0,x+2y-z-3=0

どなたか教えていただけませんか?

gooドクター

A 回答 (3件)

akatukinoshoujoさん、こんにちは。



>x-y+3z-1=0・・・・(1)
>x+2y-z-3=0・・・・(2)とおきましょう。
(1)(2)より、連立方程式を解いて、x、y、zをそれぞれどれか一つの文字で表していきます。

(1)×2 2x-2y+6z-2=0
(2)   x+2y-z-3=0
------------------------------これを足してみると
      3x+5z-5=0
      x=-5(z-1)/3・・・・(☆)

(1)   x-y+3z-1=0
(2)×3 3x+6y-3z-9=0
------------------------------これらを足し合わせると
      4x+5y-10=0
      4x=-5(y-2)
      x=-5(y-2)/4・・・・(★)

(☆)(★)より、yとzをxであらわせたので、つなげてみましょう。

x=-5(y-2)/4=-5(z-1)
もうちょっと整理すると、
x/5 =(y-2)/-4 =(z-1)/-3
となって、これは(0,2,1)を通り、方向ベクトルが(5,-4,-3)の
直線になることを示しています。


方程式が2つあるので、どれか一つの文字で表して、つなげてみるといいですね。
頑張ってください!!
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#1さんの模範解答が出ていますので,他の方法を挙げてみます.


x-y+3z-1=0
x+2y-z-3=0

まず2平面の適当な共有点を探す.
z=0とおいてx-y-1=0,x+2y-3=0よりx=5/3,y=2/3
よって共有点の1つA(5/3,2/3,0)が見つかる.

[別解その1]同様にして他にあと1点を求めてその2点を通る直線が求める交線になる.

[別解その2]2平面の法線ベクトル→a=(1,-1,3),→b=(1,2,-1)の両方に直交するベクトルの1つを外積の利用[→a×→b=(-5,4,3)に平行なもの] or →n=(p,q,r) とおいて内積0で比を決めると,→n=(5,-4,-3)ととれて,これは2平面に平行なので交線の方向ベクトルの1つである.
よって,共有点Aを通り,→nを方向ベクトルとする直線を求める.
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交線とは、二つの平面の共通部分です。

したがって、連立方程式
 x-y+3z-1=0
 x+2y-z-3=0
が、交線の方程式になります。これを、一般的な直線の方程式に直すには、例えば、xを消去してzについて解き、また、yを消去してzについて解き、z=f(x)=g(y)とすればいいわけです。
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