こちらの解説の ③の重解だから〜の続きで x=4m/1+m の形になるところが理解できずに止まってし

こちらの解説の
③の重解だから〜の続きで
x=4m/1+m の形になるところが理解できずに止まってしまっています。

すみませんが、解説をお願いします。

No.6 回答者： sc348253 回答日時： 2024/03/26 15:51

2次方程式の解の公式において　判別式D=0 とおいたときの解なので

一般式　ax^2 +bx +c =0 の解の公式
解={ -b ± √(b^2 -4ac) }/2a
ここで　D=0 だから　根号の中は0になるから
解= -b /2a
③の方程式に当てはめると　a→１＋m^２　　b→8m
とすれば　
接点のx座標とは解のことだから　x=8m/2(1+m^2)=4m/(1+m^2)
(以下略)

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/03/23 13:50

まあ、論理的にやや無理はあるんですけどね。

行間に書かなかった推論が多すぎる。

まず、①を②へ代入して得られた③の解は、
①②の交点の x 座標の候補であるだけです。
①から、x に対して y がひとつ定まることが言えて、
x の個数と (x,y) の個数が一致することが解る。
これを言ってはじめて、
③の解の個数と交点の個数が結びつきます。

これと、直線と円の交わり方は
/２点で交わる/１点で接する/交わらない/
の３種類しかないという図形的考察から、
③が異なるふたつの実数解を持つとき直線と円は２点で交わり、
③がひとつの解(重解)を持つとき直線と円は接すると言える。

ここまでくれば、③の判別式を使って
解の個数を分類するだけですね。
写真の解説は、最後のこの部分だけを書いています。

重解の値は、解の公式を使って
(1+m^2)x^2 - 8mx + 15 = 0 の解は
x = { 8m ± √D }/{ 2(1+m^2) }, D = (8m)^2 - 4(1+m^2)15.
D = 0 の場合には x = { 4m + 0 }/(1+m^2) になります。

No.4 回答者： ssawatake 回答日時： 2024/03/23 13:18

>>x=4m/1+m の形になる

そんな決まりは無いよ。
単にxに±√15を代入してるだけの話。(mが接点のx座標だから）

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/03/23 11:45

③式を解の公式で解いていますよ

重解のときは解の公式のルート部分が0となるので、
解の公式より
x＝(-b±√0)/(2a)
に、b＝-8m
a＝1+m²
を代入して約分してあげると
x＝(4m)/(1+m²)が得られます

無論
解の公式…x＝(-b±√b²-4aC)/(2a)
に、a＝1+m²
b＝-8m
C＝15
を代入して計算しても同じ答えが得られますが、√部分の計算が面倒です！
重解のときは√0になる事を理解していると、計算が楽になりますよ

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/03/23 11:45

単に、③の二次方程式の解（x の値）を「二次方程式の一般解の公式」で求めただけです。

ax^2 + bx + c = 0 の一般解は
　x = [-b ± √(b^2 - 4ac)]/(2a)
ですから、これに
　a = 1 + m^2
　b = -8m
　c = 15
を代入しただけ。

やってみれば
　b^2 - 4ac = 64m^2 - 60(1 + m^2) = 4m^2 - 60 = 4(m^2 - 15)
なので
　x = [8m ± √(4m^2 - 60)]/[2(1 + m^2)]
　　= [4m ± √(m^2 - 15)]/(1 + m^2)　　　　　①

重解で
　m = √15
なので、①のルートの中は 0 になって
　x = 4m/(1 + m^2)

こんなステップを経ずに、最初から①に m = √15 を代入すればよいだけの話ですけどね。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/03/23 11:27

素直に x 座標を計算しただけ. えぇと, 連立方程式を解けば交点の座標が求まるというのは, 理解できてます... よね?

あと「x=4m/1+m の形」ではないからね.