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不定積分∫dx/√(1-x^2)=arcsin(x)+C
を証明ですが、

x=sin(θ)と置換すると、
dx=cos(θ)dθより、

∫dx/√(1-x^2)
=∫cos(θ)dθ/√(cos^2(θ))
=∫cos(θ)dθ/|cos(θ)|

ここでこの絶対値をどのように処理すればよいのでしょうか?

A 回答 (2件)

もっと基礎的なことを理解していないから


>ここでこの絶対値をどのように処理すればよいのでしょうか?
こういった愚問をする事になるわけです。

被積分関数
1/√(1-x^2)
の暗黙の定義域があることを認識してましたか?

(1)分数の分母はゼロでない。→ x≠1
(2)√内は正またはゼロでなければならない。→-1≦x≦1
この2つの条件を満たすxの領域は
-1<x<1
です。これが定義域です。

この定義域を置換の際に、互いに一価関数の関係で、受継がないといけませんね。
x=sin(θ)
と置換する場合、x⇔θが互いに1:1の関係で置換関係(互いに一価関数の関係)にする為には、θの値域はどうなりますか?
-1<x<1なる任意のxに対してθが1つだけ対応する(一意的に定まる)ためのθの値域は
-π/2<θ<π/2
ですね。この値域が置換後のθの定義域になります。
このθの定義域では
cos(θ)>0ですね。

だったら
> =∫cos(θ)dθ/√(cos^2(θ))
> =∫cos(θ)dθ/|cos(θ)|
√(cos^2(θ))=cos(θ)>0
|cos(θ)|=(cosθ)>0

だと分かるでしょう。

=∫dθ=θ+C

θ⇔xの置換でθとxは1:1に対応する関係にありますから
x=sin(θ) ⇔ θ=arcsin(x)
暗黙の定義域として -1<x<1、-π/2<θ<π/2のもとで再度置換ができることを忘れないで下さい。

=arcsin(x) +C
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不定積分で x=sin(θ) と置いた場合、θ=0~π/2 で、cos(θ)>0 だから、√cos^2(θ)=cos(θ) です。



よって、∫cos(θ)dθ/√{cos^2(θ)}=∫dθ=θ=sin^-1(x)+C ですよ。

なお、定積分の場合、x が 0~a で、θ が 0~π/2 なら、cosθ>0 で、√cos^2θ=cosθ ですが、もし、θ が π~π/2 になるなら、√cos^2θ=-cosθ にする必要があります。 
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この回答へのお礼

不定積分∫dx/√(1-x^2)=arcsin(x)+C

において、xの範囲は-1≦x≦1だから、
x=sin(θ)と置換した時点で、-π/2≦θ≦π/2と考えるようにすれば、
cos(θ)>0
が分かるのですね。

ありがとうございました。

お礼日時:2008/03/07 01:33

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