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不定積分∫dx/√(1-x^2)=arcsin(x)+C
を証明ですが、

x=sin(θ)と置換すると、
dx=cos(θ)dθより、

∫dx/√(1-x^2)
=∫cos(θ)dθ/√(cos^2(θ))
=∫cos(θ)dθ/|cos(θ)|

ここでこの絶対値をどのように処理すればよいのでしょうか?

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A 回答 (2件)

もっと基礎的なことを理解していないから


>ここでこの絶対値をどのように処理すればよいのでしょうか?
こういった愚問をする事になるわけです。

被積分関数
1/√(1-x^2)
の暗黙の定義域があることを認識してましたか?

(1)分数の分母はゼロでない。→ x≠1
(2)√内は正またはゼロでなければならない。→-1≦x≦1
この2つの条件を満たすxの領域は
-1<x<1
です。これが定義域です。

この定義域を置換の際に、互いに一価関数の関係で、受継がないといけませんね。
x=sin(θ)
と置換する場合、x⇔θが互いに1:1の関係で置換関係(互いに一価関数の関係)にする為には、θの値域はどうなりますか?
-1<x<1なる任意のxに対してθが1つだけ対応する(一意的に定まる)ためのθの値域は
-π/2<θ<π/2
ですね。この値域が置換後のθの定義域になります。
このθの定義域では
cos(θ)>0ですね。

だったら
> =∫cos(θ)dθ/√(cos^2(θ))
> =∫cos(θ)dθ/|cos(θ)|
√(cos^2(θ))=cos(θ)>0
|cos(θ)|=(cosθ)>0

だと分かるでしょう。

=∫dθ=θ+C

θ⇔xの置換でθとxは1:1に対応する関係にありますから
x=sin(θ) ⇔ θ=arcsin(x)
暗黙の定義域として -1<x<1、-π/2<θ<π/2のもとで再度置換ができることを忘れないで下さい。

=arcsin(x) +C
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不定積分で x=sin(θ) と置いた場合、θ=0~π/2 で、cos(θ)>0 だから、√cos^2(θ)=cos(θ) です。



よって、∫cos(θ)dθ/√{cos^2(θ)}=∫dθ=θ=sin^-1(x)+C ですよ。

なお、定積分の場合、x が 0~a で、θ が 0~π/2 なら、cosθ>0 で、√cos^2θ=cosθ ですが、もし、θ が π~π/2 になるなら、√cos^2θ=-cosθ にする必要があります。 
    • good
    • 2
この回答へのお礼

不定積分∫dx/√(1-x^2)=arcsin(x)+C

において、xの範囲は-1≦x≦1だから、
x=sin(θ)と置換した時点で、-π/2≦θ≦π/2と考えるようにすれば、
cos(θ)>0
が分かるのですね。

ありがとうございました。

お礼日時:2008/03/07 01:33

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Aベストアンサー

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(arcsinx)' = 1/(siny)' = 1/cosy

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よって、
 ∫x(arcsinx)'dx
= ∫siny・1/cosy・cosy dy
= ∫siny dy
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= -√(1-x^2)

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Aベストアンサー

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Aベストアンサー

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(3)
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(4)
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答えは
log|{x-1+√(x^2+1)}/{x+1+√(x^2+1)}|
です。
僕の置換の方法でやると、
1/2log|√(x^2+1)-1/√(x^2+1)+1|
です。

Aベストアンサー

ふつうに書き始めましたが、多重括弧で目が回り、全角になってしまいました。御検証ください。
log|{x-1+√(x^2+1)}/{x+1+√(x^2+1)}|

     |x-1+√(x^2+1)|
 Log ――――――――――――
     |x+1+√(x^2+1)|


     |[x-1+√(x^2+1)][x+1ー√(x^2+1)]|
=Log―――――――――――――――――――――――――
      |[x+1+√(x^2+1)][x+1ー√(x^2+1)]|


     |[x-(1-√(x^2+1))][x+(1ー√(x^2+1))]|
=Log―――――――――――――――――――――――――
              |(x+1)^2-(x^2+1)|


     |x^2-(1-√(x^2+1))^2|
=Log―――――――――――――――
              |2x|


     |x^2-1+2√(x^2+1)-x^2-1|
=Log――――――――――――――――――
              |2x|


     -1+2√(x^2+1)-1
=Log――――――――――――
              |2x|


     √(x^2+1)-1
=Log―――――――――
        |x|


     [√(x^2+1)-1][√(x^2+1)+1]
=Log―――――――――――――――――
        |x[√(x^2+1)+1]|


         |x^2|
=Log――――――――――――
     |x[√(x^2+1)+1]|


           |x|
=Log――――――――――――
      √(x^2+1)+1


=Log|x|-Log[1+√(x^2+1)]
------------------------------------------------------------

1/2log|√(x^2+1)-1/√(x^2+1)+1|

   1        √(x^2+1)-1
 ――― ・ Log――――――――――――
   2        √(x^2+1)+1


   1        [√(x^2+1)-1][√(x^2+1)+1]
=――― ・ Log―――――――――――――――――
   2        [√(x^2+1)+1][√(x^2+1)+1]


   1            |x^2|
=――― ・ Log――――――――――――
   2        [√(x^2+1)+1]^2


            |x|
= Log――――――――――――
       √(x^2+1)+1


=Log|x|-Log[1+√(x^2+1)]
-----------------------------------------------------------

ふつうに書き始めましたが、多重括弧で目が回り、全角になってしまいました。御検証ください。
log|{x-1+√(x^2+1)}/{x+1+√(x^2+1)}|

     |x-1+√(x^2+1)|
 Log ――――――――――――
     |x+1+√(x^2+1)|


     |[x-1+√(x^2+1)][x+1ー√(x^2+1)]|
=Log―――――――――――――――――――――――――
      |[x+1+√(x^2+1)][x+1ー√(x^2+1)]|


     |[x-(1-√(x^2+1))][x+(1ー√(x^...続きを読む

Qある積分の問題。∫1/√(x^2+A) = log|x+√(x^2+A)|

ある演習問題で
∫1/√(x^2+A)
という形が出てきて、それが解けずに解答を見たら、
∫1/√(x^2+A) = log|x+√(x^2+A)|
という記述で、この積分の問題は済まされていました。逆算すると、確かにそうなるのですが、なかなかこの形を直接考え出すのは、難しい気がします。…ので、単純な暗記になると思うのですが、覚えにくい形ですよね…。
何か右辺を導き出すような考えの手順のようなものはあるでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

高校範囲だと、#1の方のように、
t = x+√(x^2+A)
という置換を覚えるものです。

∫1/(1+x^2)dx という形をみたら、x=tan(t) と置く、ていうのと同じ感じで、
∫1/√(1+x^2)dx という形をみたら、t=x+√(1+x^2) と置くものなんです。
この積分は、けっこうよく出てくるので、覚えておいて損はないです。

大学生であれば、#2の方のように、x=sinh(t) と置換するってのが常道でしょうけど。

Q積分∫[0→1]√(1-x^2)dx=π/4

定積分∫[0→1]√(1-x^2)dx=π/4
この計算の仕方が分かりません。
x=sinθとおく。dx=cosθdθ。x[0→1]がθ[0→2/π]になる。
∫[0→1]√(1-x^2)dx=∫[0→2/π]√cos^2θdθ
ここまでは合ってますか?
次に半角の公式を使って(この半角の公式とやらがよく分からないのですが)1/2∫[0→2/π]1+cos2θdθとなり
=π/4となる様です。計算の説明を分かりやすくお願い致します。
また、π/4 は 45°で、cos(π/4)=1/√2、sin(π/4)=1/√2 ですが、それとの関係はどうなるのでしょう?

Aベストアンサー

∫[0→1]√(1-x^2)dx=∫[0→2/π]√cos^2θdθ
ここまでは合ってますか?

正しくは 1 → π/2 です (πと2が逆)

さらに、dx=cosθdθ の cos θ を入れ忘れています

以上を訂正すると

∫[0→π/2]√(cos^2θ) cos θ dθ
= ∫[0→π/2] cos^2 θ dθ

となります

cos^2 θ を積分するの面倒です

しかし、半角の公式

cos(θ/2)=±√{(1 + cosθ)/2}

を用いると、、、、

同じ θ を使ってるので、頭 こんがらがりますが

cos(θ)=±√{(1 + cos 2θ)/2}

cos^2 θ = (1 + cos 2θ)/2

で2乗を外せて、積分しやすい形になります

(1/2)∫[0→π/2](1+cos2θ)dθ

=(1/2) [ θ + (1/2) sin 2θ] (0→π/2)

= (1/2){(π/2 + sin π)ー(0 + sin 0)}
= (1/2)(π/2 )
=π/4

> また、π/4 は 45°で、
> cos(π/4)=1/√2、sin(π/4)=1/√2 ですが、
> それとの関係はどうなるのでしょう?

上記の積分の π/4  は面積
π/4 は 45°という時の π/4  は角度
ですので、関係は深く考えても仕方ありません

∫[0→1]√(1-x^2)dx=∫[0→2/π]√cos^2θdθ
ここまでは合ってますか?

正しくは 1 → π/2 です (πと2が逆)

さらに、dx=cosθdθ の cos θ を入れ忘れています

以上を訂正すると

∫[0→π/2]√(cos^2θ) cos θ dθ
= ∫[0→π/2] cos^2 θ dθ

となります

cos^2 θ を積分するの面倒です

しかし、半角の公式

cos(θ/2)=±√{(1 + cosθ)/2}

を用いると、、、、

同じ θ を使ってるので、頭 こんがらがりますが

cos(θ)=±√{(1 + cos 2θ)/2}

cos^2 θ = (1 + cos 2θ)/2

で2乗を外せて、積分しやすい形に...続きを読む


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